Question

Un oscilador armónico simple se encuentra en
x = 3,36 m con una velocidad de 0,216 m/s
cuando t= 5 s. Si su pulsación es = 0,1 ra
d/s, determina a su frecuencia, y. su amplitud:
c. la fase inicial d. la aceleración en t = 5 s;
e, lo posición, la velocidad y la aceleración en
tOs. y. Escribe las expresiones de la elonga
ción. la velocidad y la aceleración en función
del tiempo g. Dibuja la gráfica de la elon
gación en función del tiempo, entre t = 0 s y
t= 60 s.​

Answer 1

Este movimiento oscilatorio armónico tiene una amplitud de 3,99 metros, una frecuencia de 0,016Hz y una fase inicial de 28,6° ó 0,5 radianes.

Explicación:

En cuanto al oscilador armónico simple, como conocemos su pulsación angular, podemos predecir que su ecuación horaria es:

$x(t)=A.sen(wt)=A.sen(0,1t+\phi)$

Entonces tenemos que:

a) La frecuencia es la cantidad de oscilaciones que hace en un segundo, es decir, cuantas veces en un segundo recorre $2\pi$ radianes. Entonces esta es:

$f=\frac{w}{2\pi}=\frac{0,1s^{-1}}{2\pi}=0,016Hz$

Podemos ahora plantear la conservación de la energía en todo momento para hallar la amplitud, teniendo en cuenta que la máxima elongación se da cuando la velocidad se anula:

$\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA^2\\\\kx^2+mv^2=kA^2$

Dividimos en ambos miembros por m y queda:

$\frac{k}{m}x^2+v^2=\frac{k}{m}A^2\\\\w^2x^2+v^2=w^2A^2$

De esta expresión podemos despejar la amplitud del movimiento A:

$A=\sqrt{\frac{w^2x^2+v^2}{w^2}}\\\\A=\sqrt{\frac{(0,1s^{-1})^2(3,36m)^2+(0,216m/s)^2}{(0,1s^{-1})^2}}\\\\A=3,99m$

c) Ahora, teniendo la amplitud, podemos despejar la fase inicial de la expresión de la elongación:

$x(t)=A.sen(wt+\phi)\\\\wt+\phi=arcsen(\frac{x}{A})\\\\\phi=arcsen(\frac{x}{A})-wt=arcsen(\frac{3,36}{3,99})-0,1s^{-1}.5s\\\\\phi=0,5=28,6\°$

d) Si derivamos dos veces la expresión de la elongación obtendremos la de la aceleración, esta es:

$a(t)=-w^2A.sen(wt+\phi)$

Reemplazando valores tomando en cuenta que es en t=5s. El mismo instante en que se midieron posición y velocidad, queda:

$a(t)=-(0,1s^{-1})^2.3,99m.sen(0,1s^{-1}.5s+0,5)\\\\a(5s.)=0,034\frac{m}{s^2}$

e) Teniendo la fase inicial y todos los parámetros podemos hallar la posición, velocidad y aceleración en t=0s como:

$x(0)=3,99m.sen(0,1.0s+0,5)=1,91m\\v(0)=0,1s^{-1}.3,99m.cos(0,1.0s+0,5)=0,35\frac{m}{s}\\a(0)=-(0,1s^{-1})^2.3,99.sen(0,1.0s+0,5)=-0,019\frac{m}{s^2}$

La expresión para la velocidad nace de derivar la función de posición y la de aceleración de derivar la función de velocidad, estas expresiones quedan:

$x(t)=3,99m.sen(0,1t+0,5)\\v(t)=wA.cos(wt+0,5)=0,399\frac{m}{s}.cos(0,1t+0,5)\\a(t)=-w^2A.sen(wt+0,5)=-0,0399\frac{m}{s^2}.sen(0,1t+0,5)$

g) Se adjunta el gráfico de la elongación en función del tiempo entre t=0 y t=60s