Question

Determinar el mínimo o máximo de la función y el punto de inflexión. f(x) = x4 - 2x3

Answer 1

La función tiene solo un mínimo en x=3/2 y puntos de inflexión en x=0 y x=1.

Explicación:

En cuanto a los extremos de la función, estos se pueden determinar encontrando los puntos del dominio donde la derivada sea f'(x)=0, en particular, estaremos en presencia de un máximo si:

f'(x)=0; f''(x)<0

y de un mínimo si:

f'(x)=0; f''(x)>0

Hallemos las dos derivadas de la función:

$f'(x)=4x^3-6x^2\\\\f''(x)=12x^2-12x$

Los extremos de la función serán:

$4x^3-6x^2=0\\\\x=0\\x=\frac{3}{2}$

La derivada segunda en esos dos puntos es:

$f''(0)=12.0^2-12.0=0\\\\f''(3/2)=12(\frac{3}{2})^2-12.\frac{3}{2}=27-18=9$

Con lo que x=0 no es un extremo y x=3/2 es un mínimo. Por su parte los puntos de inflexión son aquellos donde f''(x)=0. Con lo que x=0 es un punto de inflexión, el otro es:

$12x^2-12x=0\\x=0\\x=1$

En la imagen adjunta se puede ver la gráfica de la función donde se aprecian los dos puntos de inflexión y el mínimo.