¡¡Ayuda!!,si sen α y cos α son las dos raíces de la ecuación 4x ^ 2 - 5x + a = 0,¿entonces el valor de a debería ser?
Respuestas
Reducimos la ecuación:
x² - 5/4 x + a/4 = 0
Por propiedades de las raíces:
(x - senα) (x - cosα) = x² - (senα + cosα) x + senα . cosα = 0
Identificamos coeficientes.
- (senα + cosα) = - 5/4 (*)
senα . cosα = a/4
Trabajamos la ecuación (*)
√(1 - cos²α) + cosα = 5/4; hacemos una sustitución: z = cosα.
√(1 - z²) + z = 5/4
√(1 - z²) = 5/4 - z; elevamos al cuadrado.
1 - z² = 25/16 - 5/2 z + z²; reducimos
2 z² - 5/2 z + 9/16 = 0; ecuación de segundo grado en z.
Resulta: z = (5 + √7) / 8; z = (5 - √7) / 8
Es decir:
cosα = (5 + √7) / 8, resulta senα = (5 - √7) / 8
Podemos intercambiar senα con cosα porque se cumple la propiedad conmutativa de la suma y del producto.
senα + cosα = cosα + senα; senα . cosα = cosα . senα
Luego a = 4 [(5 + √7) / 8] . [(5 - √7) / 8]
Tenemos suma por diferencia.
a = 1/2 (25 - 7) = 9
Mateo.