Para retirar la siguiente serie de pagos de $ 1000 cada uno, determinar el depósito mínimo (P) se debe hacer ahora si sus depósitos ganan una TEA 10 %. Tenga en cuenta que usted está haciendo otro depósito al final del año 7 en la cantidad de $ 500. Con el depósito mínimo P, su saldo al final del año 10 debe ser cero.
Respuestas
El deposito minimo y exacto debe ser de $3395.256792
Tenemos una TEA: que es una tasa Efectiva anual compuesta cada año se retirara una serie de pagos de $1000, sea "P" mínimo que se debe hacer, entonces veamos
El primero año: tendre en total = P*1.10 y retiro $1000, entonces tengo
total1 = P*1.10 - $1000
El segundo año: tengo (P*1.10 - $1000)*1.10 - $1000
total2: P*1.10² - $1000*1.10 - $1000
El tercer año: tengo (P*1.10² - $1000*1.10 - $1000)*1.10 - $1000
total3: P*1.10³ - $1000*1.10² - $1000*1.10 - $1000
Por lo tanto el septimo año tiene:
total7: P*1.10⁷ - $1000*1.10⁶ - $1000*1.10⁵ - $1000*1.10⁴ - $1000*1.10³ - $1000*1.10² - $1000*1.10 - $1000
Este año se hace un deposito junto con el depósito mínimo de $500: entonces se deposita P + $500
En el decimo año se tiene:
total10: P*1.10¹⁰ - $1000*1.10⁹ - $1000*1.10⁸ - $1000*1.10⁷ - $1000*1.10⁶ - $1000*1.10⁵ - $1000*1.10⁴ - $1000*1.10³ - $1000*1.10² - $1000*1.10 - $1000 + (P + $500)*1.10³
Queremos que en total sea 0:
P*1.10¹⁰ - $1000*1.10⁹ - $1000*1.10⁸ - $1000*1.10⁷ - $1000*1.10⁶ - $1000*1.10⁵ - $1000*1.10⁴ - $1000*1.10³ - $1000*1.10² - $1000*1.10 - $1000 + (P + $500)*1.10³ = 0
P*1.10¹⁰ + P*1.10³ + 500*1.10³ = $1000*1.10⁹ + $1000*1.10⁸ + $1000*1.10⁷ + $1000*1.10⁶ $1000*1.10⁵ + $1000*1.10⁴ $1000*1.10³ + $1000*1.10² + $1000*1.10 + $1000
P*(1.10¹⁰ + 1.10³) = $1000*∑1.10ⁿ n desde 0 hasta 9 - $665.5
P = $1000/(1.10¹⁰ + 1.10³)*∑1.10ⁿ - $665.5 = 3395.256792