Suponga que k es un número real para el cual la gráfica de la función f(x)=x^4+x^3-kx tiene eje de simetría vertical. Se sabe que k se puede expresar como a/b a/b {a;b} son enteros positivos coprimos. Determinar el valor de a+b
Respuestas
Respuesta:
No tengo el procedimiento completo. Pero por si le vale a alguien, cuento lo que he averiguado.
En la incompleta respuesta que se ve aquí: https://brainly.lat/tarea/13778529
se dice que la solución de a+b=9 aunque no dice cómo llega a ese valor.
Yo no sé cómo hacerlo, pero aún así, tomándolo como válido, si a y b se puede expresar como a/b, y su suma es 9, las únicas opciones posibles serían las siguientes:
1/8 2/7 3/6 4/5
Como 3 y 6 no son coprimos (números coprimos son dos números enteros a y b que no tienen ningún factor primo en común) no nos sirven.
He probado con los otros posibles valores y sólo se obtiene una gráfica con simetría vertical para k=1/8 que adjunto.
a y b son 1 y 8 respectivamente, por lo que a + b = 9
Para poder determinar esto, simplemente debemos hallar el eje de simetría x0 y relacionarlo con k.
Una cosa importante a saber es que como la función es un polinomio de 4to grado, su eje de simetría es un máximo local, es decir
f'(x0) = 0
f''(x0) < 0,
Por lo que si derivamos f tenemos
f'(x) = 4x³ + 3x² - k
4x0³ + 3x0² - k = 0
k = 4x0³ + 3x0² = [4x0 + 3]x0²
Aquí hemos obtenido la relación entre k y x0; si volvemos a derivar f, tenemos que
f''(x) = 12x + 6x ⇒ 6x(2x+1)
Por lo tanto
6x0( 2x0 + 1) < 0
x0(2x0 + 1) < 0
Esto se logra cuando x0 ∈ [-1/2, 0]
Ahora bien, x0 es el punto medio entre -0.5 y 0 (es decir -1/4) pues es el vértice de la parábola 12x² + 6x, entonces, tenemos
x0 = -1/4
k = (-1/4)²[ 4(-1/4) + 3 ] = (1/4)²(3 - 1) = 2/16 = 1/8
Por lo tanto, como k se puede escribir como una fracción de la forma a/b, es decir, a = 1 y b = 8