Question

1- Sean los vectores c ⃗= 3i+6j-9k y d ⃗=-4i-8j+12k, determine:


a) El ángulo entre ellos.

b) Si c ⃗ y d ⃗ son vectores ortogonales o no.


Explique sus resultados.


2- Dados los siguientes vectores: c ⃗= (1,2,3), d ⃗= (4,5,6) y e ⃗= (7,8,9) demuestre que las siguientes propiedades son falsas o verdaderas:


a) (c ⃗×d ⃗) ≠(d ⃗×c ⃗)

b) (c ⃗×d ⃗) ∙e ⃗ = c ⃗∙ (d ⃗×e ⃗)

c) (c ⃗×d ⃗) ×e ⃗ ≠ c ⃗× (d ⃗×e ⃗)


Explique sus resultados.

Answer 1

1) a) El ángulo entre ellos es :  α= 180º

   b)  Los vectores c y d no son ortogonales, porque el producto escalar es diferente de cero.

2)   a)  ( cx d) ≠ ( dx c )    es verdadera

      b) ( cxd) *e = c*( dxe)   es falsa  

     c)  ( cx d) x e ≠ c x ( dxe)  es verdadero .

1) Vectores:    c = 3i +6j -9k         Ic I= √3²+6²+(-9)² = 3√14

                        d= -4i -8j +12k       I d I = √(-4)² + ( -8)² +12² = 4√14

 a) α = ?     se aplica el producto escalar

                          c* d = I c I * I d I *cosα

  c*d = ( 3i +6j -9k )*( -4i -8j +12k ) = -12 -48 -108 = -168  Producto escalar

     Cosα =   c*d/Ic I*IdI = -168/( 3√14*4√14 )

         α = 180º

  b) Los vectores c y d no son ortogonales, porque el producto escalar es diferente de cero.

 2)  c = ( 1,2,3 )       d = ( 4,5 6,)    e = ( 7, 8, 9)

 a)  ( cx d) ≠ ( dx c )    es verdadera

   cxd = ( 12i +12j +5k ) - ( 8k +6j +15i ) = -3i +6 j -3k

   dxc = ( 15i+6j+8k ) - ( 5k +12j +12i)  =  3i -6j +3k

b) ( cxd) *e = c*( dxe)   es falsa  

   ( -3 i +6j -3k)* ( 7i +8j +9k ) = ( i +2j +3k)* ( -3i +6j+13k)

          -21 + 48 -27  = -3 +12 +39

                          0  = 48    es falsa, da diferente .

   dxe = ( 4i +5j +6k ) x( 7i +8j +9k) = ( 45i +42j +48k )- ( 35k +36j +48i)

           = -3i +6j +13k

c)  ( cx d) x e ≠ c x ( dxe)  es verdadero .

     ( -3i +6j-3k) x ( 7i +8j +9 k) ≠ ( i + 2j +3k) x ( -3i +6j +13k)

          78i +6j -66k ≠   8i -22j +12k