Question

La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el principio de los síntomas hasta el fallecimiento varía de 3 a 20 años; el promedio es de 8 años con una desviación estándar de 4 años. El administrador de un centro médico selecciona al azar los registros médicos de 30 pacientes de Alzheimer ya fallecidos, de la base de datos del centro médico y anota la duración. Encuentre las probabilidades aproximadas de estos eventos:
a) La duración Promedio es menor a 7 años.
b) La duración promedio excede a 7 años
c) La duración promedio está a no más de 1 año de la media poblacional µ = 8.

Por favor ayudar con su resolución

Answer 1

Si la duración de la enfermedad de Alzheimer, en años, es una variable aleatoria con distribución normal, la media aritmética también tiene distribución normal; así usando una estandarización y la tabla de probabilidades acumuladas podemos responder las interrogantes planteadas.

Explicación:

La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el principio de los síntomas hasta el fallecimiento tiene distribución normal con:  

media  =  μ  =  8  años y desviación estándar  =  σ  =  4  años

Para hallar probabilidades asociadas a esta distribución se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).  

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:  

x  =  duración de la enfermedad de Alzheimer

Su media muestral también tiene distribución normal y la estandarización para calcular sus probabilidades en la tabla estándar es:  

$\bold{z=\frac{(\overline{x}-\mu)\sqrt{n}}{\sigma}}$  

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:  

$\bold{P(\overline{x}<a)=P(z<\frac{(a-\mu)\sqrt{n}}{\sigma})}$  

a) La duración promedio es menor a 7 años.

Se desea hallar la probabilidad de que la media sea menor que 7:

$P(\overline{x}<7)= P(\overline{x}<7)=P(z<\frac{(7-8)\sqrt{30}}{4})=P(z<-1.369)=0.0823$

Hay una probabilidad de  0.0823  de que la enfermedad en promedio dure 7 años o menos.

b) La duración promedio excede a 7 años

Se desea hallar la probabilidad de que la media sea mayor que 7. Dado que la tabla arroja probabilidades acumuladas, es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

$P(\overline{x}>7)=1-P(\overline{x}<7)=1-P(z<\frac{(7-8)\sqrt{30}}{4})=1-P(z<-1.369)=1-0.0823=0.9177$

Hay una probabilidad de  0.0823  de que la enfermedad en promedio dure 7 años o menos.

c) La duración promedio está a no más de 1 año de la media poblacional µ = 8.

Cuando se trabaja con intervalos, las probabilidades se obtienen por diferencias de las probabilidades acumuladas a la cola izquierda de los extremos de dicho intervalo:  

$P(a<\overline{x}<b)=P(\overline{x}<b)-P(\overline{x}<a)=P(z<\frac{(b-\mu)\sqrt{n}}{\sigma})-P(z<\frac{(a-\mu)\sqrt{n}}{\sigma})$  

En el caso que nos ocupa:  

$P(8-1<\overline{x}<8+1)=P(\overline{x}<9)-P(\overline{x}<7)= P(z<\frac{(9-8)\sqrt{30}}{4})- P(z<\frac{(7-8)\sqrt{30}}{4})\qquad\Rightarrow$  

$P(7<\overline{x}<9)=P(z<1.369)-P(z<-1.369)=0.9177-0.0823\qquad\Rightarrow$  

$\bold{P(7<\overline{x}<9)=0.8354}$  

La probabilidad de que la duración promedio de la enfermedad esté entre 7 y 9 años es de 0.8354.