Question

Resolver aplicando L'Hopital
$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3x^{2} ]{\frac{e^{x^{2} } }{x^{5}} }$

Por otro método halle que la solución es $\sqrt[3]e}$ pero necesito hallarlo por L'Hopital, agradezco mucho que sean detallados con la respuesta pliss

Answer 1

Para aplicar L'Hopital hay que hacer una serie de transformaciones.

Numerador: e^[(x²]^[1/(3x²)] = e^(1/3) = ∛e

Denominador: [x^5]^[1/(3x²)]

El numerador es una constante. Su límite es el valor de la constante.

Buscamos el límite del denominador. Siendo una función elevada a otra función, aplicamos logaritmos.

ln(y) = ln(x^5) / (3x^2)

Tenemos ahora la forma ∞/∞ y es aplicable la regla de L'Hopital.

El límite de un logaritmo es el logaritmo del límite.

Aplicamos la regla.

Derivada del  numerador: x^5. 5 x^4 = 5/x

Derivada del denominador: 6x

Ln(Lím) = Lim[5/(6x²)]

Tiende a 0 si x tiende a infinito.

Luego Ln(Lím) = 0, implica que Lím = 1

Retomando el comienzo:

Lím = ∛e/1 = ∛e

Mateo.