Respuestas
Las potencias aplicando el teorema de De Moivre dan como resultado :
22) ( cos π/4 + i senπ/4 )⁴ =( cos π+ i senπ) = 1
23) [ 2*( cos 45º + i sen45º )]⁵ = 32( cos 90º + i sen90º ) = 32i
24) ( 1/2 -√3/2 i )⁻³ = 1
25) (√2/2 +√2/2i)⁻⁸ = 1
26) ( -3√3 +3i )³⁰ = - ( 2√21/3)³⁰
La fórmula del teorema De Moivre que se aplica para calcular la potencia de cualquier número complejo en forma trigonométrica o polar z = r(cosθ + isenθ) para cualquier n∈ Z es la siguiente :
zⁿ = rⁿ*(cos(nθ) + i*sen(nθ))
22) ( cos π/4 + i senπ/4 )⁴ = 1⁴* ( cos ( 4*π/4) +i *sen ( 4*π/4))
= ( cos π+ i senπ)
23) [ 2*( cos 45º + i sen45º )]⁵ = 2⁵* ( cos (2*45º ) + i sen( 2*45º ) )
= 32( cos 90º + i sen90º )
24 ) ( 1/2 -√3/2 i )⁻³ = ( cos 120º + i sen120º )⁻³ = 1⁻³* ( cos ( -3*120) + i sen(-3*120)) = 1* ( cos( -360º ) + i *sen ( -360º)) = 1
r= √(1/2)²+ ( -√3/2 )² = 1 tangα = -√3/2 /1/2 ⇒ α = -60º
180º -60º = 120º
25 ) (√2/2 +√2/2i)⁻⁸ = ( Cos 45º + isen45º)⁻⁸ = 1⁻⁸* ( cos ( -8*45º ) + i sen( -8*45º)) = ( cos ( -360º ) + i sen ( -360º ) ) = 1
r= √(√2/2)²+ ( √2/2 )² = 1 tangα = √2/2 /√2/2 ⇒ α = 45º
26) ( -3√3 +3i )³⁰ =( 2√21/3 (cos 150º + isen150º ))³⁰
= ( 2√21/3)³⁰* ( cos 30*150º + i sen ( 30*150º ))
= ( 2√21/3)³⁰* ( cos 4500º + i sen ( 4500º ))
= - ( 2√21/3 )³⁰
r= √(-√3/3)²+ (3 )² = 2√21/3 tangα =3 /-3√3 ⇒ α = -30º
180º -30º = 150º