Question

Encuentre la antiderivada F de la función f = 5 x ^4 - 2 x ^5 tal que cumpla la siguiente condición F(0) = 4.

Answer 1

La primitiva de la función planteada tal que F(0)=4 es $F(x)=x^5-\frac{x^6}{3}+4$

Explicación:

La antiderivada o primitiva de una función f(x) es el resultado de realizar la integral indefinida de la función utilizando las reglas que se necesiten, en nuestro caso hacemos:

$F(x)=\int\limits^{}_{} {5x^4-2x^5} \, dx$

Cuando tenemos combinación lineal entre funciones aplicamos la propiedad de la linealidad, por la cual la integral de la suma es igual a la suma de las integrales, si una constante multiplica al integrando, esta se puede extraer de la integral:

$F(x)=\int\limits^{}_{} {5x^4} \, dx-\int\limits^{}_{} {2x^5} \, dx \\\\F(x)=5\int\limits^{}_{} {x^4} \, dx-2\int\limits^{}_{} {x^5} \, dx$

Ahora aplicamos la regla para funciones polinómicas:

$F(x)=5\int\limits^{}_{} {x^4} \, dx-2\int\limits^{}_{} {x^5} \, dx =5.\frac{x^5}{5}-2\frac{x^6}{6}+C\\\\F(x)=x^5-\frac{x^6}{6}+C$

El resultado es una familia de funciones diferenciadas por la constante C que es un número real cualquiera, nos especifican que F(0)=4, entonces la constante para esta primitiva es:

$F(0)=0^5+\frac{0^6}{3}+C=4\\\\C=4$

Answer 2

Respuesta: F(x)= x^5-(\frac{x^6}{3})+4

Explicación:

Por lo tanto, debemos integrar dicha función, esto es:

\int (5x^4-2x^5 )dx\\

=\int 5x^4 dx- \int 2x^5 dx\\

=5\int x^4 dx-2\int x^5 dx\\

=5(\frac{x^5}{5})+c_1-2(\frac{x^6}{6})+c_2\\

=x^5-(\frac{x^6}{3})+c

Por lo tanto, la antiderivada es:

F(x)= x^5-(\frac{x^6}{3})+c

Ahora buscamos la función  F(x)t al que F(0) = 4  

Sustituyendo tenemos:

F(0)= (0)^5-(\frac{(0)^6}{3})+c

Por lo tanto, c = 4

De lo cual tenemos que la antiderivada que buscamos es:

F(x)= x^5-(\frac{x^6}{3})+4