Question

Ejercicio 2. Movimiento de proyectiles

En una línea de selección de granos, los granos que no cumplen con los criterios de calidad son expulsados mediante un sistema neumático a un depósito que se encuentra separado, como se ilustra en la figura 1.

A partir de la ecuación de desplazamiento horizontal, ∆x=(v₀ cosθ₀ )t, despeja el tiempo t y sustitúyelo en la ecuación del desplazamiento vertical, ∆y=(v₀ senθ₀ )t-(gt^2)/2, para obtener la ecuación de la trayectoria.

Determina la velocidad inicial mínima v₀MIN y la máxima v₀MAX de los granos defectuosos para que caigan dentro del depósito.

Obtén el tiempo de vuelo de los granos defectuosos con la velocidad inicial mínima v₀MIN y la máxima v₀MAX.

Determina la altura máxima que alcanzan los granos defectuosos con v₀MAX.

Realiza las gráficas del componente horizontal de la velocidad vx en función del tiempo considerando los casos de la velocidad inicial mínima v₀MIN y la máxima v₀MAX.

Realiza las gráficas del componente vertical de la velocidad vy en función del tiempo considerando los casos de la velocidad inicial mínima v₀MIN y la máxima ∨₀MAX

POR FAVOR

Answer 1

Para que los granos defectuosos caigan en el depósito, la velocidad inicial mínima es 3,9 metros por segundo y la máxima es de 4,97 metros por segundo. A la velocidad mínima el tiempo de vuelo es de 337ms y a la velocidad máxima es de 391ms, y a la velocidad máxima los granos alcanzan una altura de 0,27 metros por sobre el nivel del depósito.

Explicación:

Las ecuaciones de desplazamiento horizontal y de desplazamiento vertical se pueden componer de la siguiente forma para obtener la ecuación de la trayectoria:

$x=v_0.cos(\theta).t=>t=\frac{x}{v_0.cos(\theta)}\\\\y=y_0+v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\y=y_0+v_0.sen(\theta).\frac{x}{v_0.cos(\theta)}-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0.cos(\theta)})^2\\\\y=y_0+x.tan(\theta)-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(\theta)}$

Ahora para que los granos caigan dentro del depósito, el alcance mínimo tiene que ser x=1,25 metros y el máximo x=1,25m+0,6m=1,85m. Igualamos la ecuación a 0 y queda:

$0=y_0+x.tan(\theta)-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(\theta)}\\\\y_0+x.tan(\theta)=\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(\theta)}$

De aquí despejamos la velocidad inicial:

$v_0=\sqrt{\frac{1}{2}g\frac{x^2}{cos^2(\theta)(y_0+x.tan(\theta))}}$

Luego reemplazamos el alcance mínimo y el alcance máximo en esta expresión para obtener la velocidad inicial mínima y la velocidad inicial máxima:

$x_{min}=1,25m\\g=9,81m/s^2\\\theta=18\°\\y_0=0,15m\\\\v_0_{min}=\sqrt{\frac{1}{2}9,81\frac{(1,25m)^2}{cos^2(18\°)(0,15m+1,25m.tan(18\°))}}\\\\v_{0min}=3,9\frac{m}{s}\\\\x_{max}=1,85m\\\\v_0_{max}=\sqrt{\frac{1}{2}9,81\frac{(1,85m)^2}{cos^2(18\°)(0,15m+1,85m.tan(18\°))}}\\\\v_{0max}=4,97\frac{m}{s}$

Con estas velocidades, los tiempos de vuelo se obtienen de la ecuación horaria de posición  vertical, como tomamos de referencia para las posiciones verticales el nivel de la cesta, no hay más que igualarla a cero:

$0=y_0+v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2$

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

$0=y_0+v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\t=\frac{-v_0.sen(\theta)\ñ\sqrt{(v_0.sen(\theta))^2+2y_0.g}}{g}$

Y reemplazamos la velocidad mínima en esta expresión:

$v_0=3,9\frac{m}{s}\\\theta=18\°\\y_0=0,15m\\g=9,81\frac{m}{s^2}\\\\t=\frac{-3,9.sen(18\°)\ñ\sqrt{(3,9.sen(18\°))^2+2.0,15.9,81}}{(-9,81)}\\\\t=337ms$

Y hacemos lo propio con la velocidad máxima:

$v_0=4,97\frac{m}{s}\\\theta=18\°\\y_0=0,15m\\g=9,81\frac{m}{s^2}\\\\t=\frac{-4,97.sen(18\°)\ñ\sqrt{(4,97.sen(18\°))^2+2.0,15.9,81}}{(-9,81)}\\\\t=391ms$

La altura máxima se obtiene derivando la trayectoria en función de x e igualándola a 0:

$\frac{dy}{dx}=tan(\theta)-g\frac{x}{v_0^2cos^2(\theta)}=0\\\\tan(\theta)=g\frac{x}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\\frac{v_0^2cos^2(\theta)tan(\theta)}{g}=x\\\\x=\frac{(4,97)^2.cos^2(18\°)tan(18\°)}{9,81}=0,74$

Y reemplazando este valor de 'x' en la expresión de la trayectoria:

$y=0,15m+0,74m.tan(18\°)-\frac{1}{2}.9,81\frac{(0,74m)^2}{(4,97m/s)^2.cos^2(18\°)}\\\\y=0,27m$

Esto en términos de altura sobre el nivel del depósito.

En la imagen adjunta están los gráficos de la componente horizontal de la velocidad que si se desprecia la fuerza viscosa del aire es constante y de valor:

$v_x=v_0.cos(18\°)$

$vx_{min}=3,9.cos(18\°)=3,71m/s\\vx_{max}=4,97.cos(18\°)=4,73m/s$

Y también las gráficas de la componente vertical de la velocidad cuyas expresiones son:

$v_{ymin}=v_{0min}.sen(\theta)-gt=(1,21-9,81t)\frac{m}{s}\\\\v_{ymax}=v_{0max}.sen(\theta)-gt=(1,54-9,81t)\frac{m}{s}$