Question

En Fig. 2 la part´ıcula 1 de carga +q y la part´ıcula 2 de carga +4q est´an separadas por una distancia

L = 9.00 cm en el eje x. Si la partıcula 3 de carga q3 se coloca en un punto tal que las tres partıculas
permanecen en su lugar una vez que se “sueltan”, encuentre:

a. Las coordenadas x de la part´ıcula 3.
b. Las coordenadas y de la part´ıcula 3.
c. La raz´on q3/q

Answer 1

Una tercera carga para poner al sistema en equilibrio debe colocarse sobre el eje horizontal a 3cm de la carga 1 (siendo a) Su coordenada horizontal 3cm y b) Su coordenada vertical 0cm). El valor de esta carga en relación a q es -4/9q, por lo que la relación entre q3 y q es q3/q=-4/9.

Explicación:

Comenzamos planteando que las cargas se repelerán entre sí con una fuerza que se obtiene mediante la ley de Coulomb:

$F=k\frac{q.4q}{L^2}=k\frac{4q^2}{L^2}$

Las fuerzas en cada carga tirarán cada una alejándose de la otra por lo que la única posibilidad es colocar q3 entremedio de ellas de modo que ejerza una fuerza de atracción que compense a la fuerza preexistente. Respecto de la carga 1 tenemos (tomando como sentido positivo a la derecha):

$-k\frac{4q^2}{L^2}=k\frac{q.q_3}{x^2}\\\\-\frac{4q}{L^2}=\frac{q_3}{x^2}$

Y respecto de la carga 2:

$k\frac{4q^2}{L^2}=-k\frac{4q.q_3}{(L-x)^2}\\\\\frac{q}{L^2}=-\frac{q_3}{(L-x)^2}\\\\-\frac{4q}{L^2}=\frac{4q_3}{(L-x)^2}$

Igualamos los segundos miembros de las dos expresiones:

$\frac{4q_3}{(L-x)^2}=\frac{q_3}{x^2}\\\frac{4}{(L-x)^2}=\frac{1}{x^2}\\\\4x^2=(L-x)^2\\\\4x^2=L^2-2Lx+x^2\\\\3x^2+2Lx-L^2$

Con esto resolvemos la ecuación cuadrática:

$x=\frac{-2L\ñ\sqrt{(2L)^2-4.3.(-L^2)}}{2.3}\\\\x=\frac{-2L\ñ\sqrt{4L^2+12L^2}}{6}=\frac{-2L\ñ4L}{6}\\\\x=\frac{2L}{6}=\frac{2.9cm}{6}\\\\x=3cm$

Para hallar el valor de la carga se puede despejar de una de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, por ejemplo la de q1:

$-\frac{4q}{L^2}=\frac{q_3}{x^2}\\\\q_3=-4q\frac{x^2}{L^2}=-4\frac{(3cm)^2}{(9cm)^2}q=-\frac{4}{9}q$