Question

Un comerciante de papas fritas decide distribuir su producto en cajas de cartón de base cuadrada y abiertas por arriba. Para su construcción el comerciante dispone de hojas cuadradas de cartón de 48 cm. De lado y las va a construir recortando de cada hoja un cuadrado de lado x de cada esquina y luego doblando los cortes. Calcula las dimensiones del cuadrado que debe recortar para que el volumen de la caja sea máximo, ¿cuál es este volumen?​

Answer 1

Respuesta:

8192cm^2

Explicación paso a paso:

la base será un cuadrado con lado de (48 - 2x)

el volumen

v(x) = (x)(48 - 2x)(48 - 2x)

v(x) = 4x³ - 192x² + 2304x

para encontrar el máximo derivamos

v'(x) = 12x² - 384x + 2304

e igualamos a 0

0 = 12x² - 384x + 2304

x² - 32x = -192

x² - 32x + 16² = -192 + 256

(x - 16)² = 64

x - 16 = √64

x = 16 - 8

x = 8

coprobamos que es un máximo derivando otra vez

v''(x) = 24x - 384

v''(8) = 24(8) - 384

v''(8) = 192 - 384

v''(8) = -192

como es menor que 0 se trata de un máximo

el volumen

V = (8)(48 - 16)(48 - 16)

V = (8)(32)(32)

V = 8192 cm³