En el triangulo ABC, M y N son puntos medios de los lados AC y AB, respectivamente.a) ¿Cuál es el cociente de AM entre MC?b) ¿Cuál es el de AN entre NB? ¿Qué posición guarda la recta que pasa por los puntos M y N con respecto al lado BC? Ahora, localicen el punto medio del lado BC y denótelo como L. ¿Qué tipo de cuadrilátero es LCMN? Si consideran el triángulo cuyo vértices son los puntos medios de los lados del triángulo dado, ¿cómo son el triángulo dado y el formado con los puntos medio?
Respuestas
En resumen, el cociente tanto entre AM y MC como entre AN y NB es 1, el segmento BC y el segmento MN son paralelos con lo cual el cuadrilátero LCMN es un paralelogramo y el triángulo medial (aquel cuyos vértices son los puntos medios de cada lado) de este es inversamente semejante.
Explicación paso a paso:
La situación se grafica en la imagen adjunta
a) Si el punto medio de AC es M, esto significa que los segmentos AM y MC son iguales, son las dos mitades del lado AC, por lo tanto el cociente entre AM y MC es 1.
b) Lo mismo ocurre con AN y NB ya que N es el punto medio del lado AB y los segmentos AN y NB son las dos mitades de dicho lado, por lo tanto también el cociente entre AN y NB es 1.
c) Si M y N son los puntos medios de los lados AC y AB respectivamente, se puede inferir que el triángulo ABC y el triángulo AMN están en la posición de Thales, siendo semejantes entre sí. Esto conduce a que el segmento BC y el segmento MN son paralelos entre sí.
d) En la imagen adjunta marcamos en verde el punto medio del lado BC y lo denotamos como L. Como se cumple que:
Y los triángulos ABC y NBL comparten el vértice B, se infiere que están en la posición de Thales. De lo que se infiere a su vez que el segmento NL que cierra el cuadrilátero LCMN es paralelo con el lado AC
Por ende el cuadrilátero LCMN es un paralelogramo.
e) El triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de ABC se conoce como triángulo medial. Como propiedad los lados del triángulo MLN son cada uno la mitad de su correspondiente lado paralelo del triángulo ABC, es decir:
Por lo que el triángulo MLN es inversamente semejante con el triángulo ABC y sus lados son la mitad de los lados de ABC.
