Question

Una pequeña gota de aceite de 0,2 g de masa, cae en el aire desde el reposo. Para una velocidad de 40cm/seg.
la fuerza debido a la resistencia del aire es de 160 dinas. Asumiendo que la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad.
Determinar la velocidad límite .

Answer 1

La velocidad limite de la gota bajo las condiciones dadas es de:

Lim(t→∞) v(t) = 49cm/s

Explicación:

Como la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la gota

R(t) = βv(t)

β = R8t)/v(t) = 160/40 = 4

Por segunda ley de newton, sabemos que:

F = ma

Donde para este ejemplo para la gota la fuerza o sumatoria es:

• P - Fa = mg - βv(t) = ma
• a = v'(t)

mv'(t) =  mg - βv(t)  Ordenamos la Ecuación diferencial lineal

v'(t) - βv(t)/m = g    .:. g = 980cm/s²

v'(t) - 4v(t)/.2 = 980

v'(t) + 20v(t) = 980   Resolvemos la EDL con un factor integrante de e^20t

d/dt[e^20t v(t)] = 980e^20t

e^20t v(t) = ∫980e^20t

e^20t v(t) = 980e^20t/20 + C1 = 49e^20t + C1

v(t) = e^-20t( 4.9e^20t + C1)

v(t) = 49 + C1e^-20t

si v(0) = 0

e^-20t( 4.9e^20t + C1) = 0

C1 = -49

v(t) = 49(1 - e^-20t)

Velocidad limite:

Lim (t→∞) 49(1 - e^-20t)

49 Lim (t→∞) (1 - 1/e^20t) = 49* (1 - 0) = 49cm/s

Lim(t→∞) v(t) = 49cm/s