Question

En un arranque de generosidad un millonario decidió ayudar a todos los mendigos del mundo. para ello, y con ef fin de hacerlo ordenadamenle, pidió que se aliñearan (los mendigos) u-no tras otros para darle al primero 1 dólar; al segundo la mitad de un dólar, al tercero la cuarta parte-de'un dólar y asi sucesivamente. ¿cuánlos dólares necesita el millonario como mínimo para ayudar a roi mendigos?

Answer 1

El millonario necesitaría 2[ 1 - (1/2)^(n) ] dolares para ayudar a n mendigos

Para poder ver esto, tenemos que utilizar lo que se conocen como las series geométricas, que son de la siguiente forma

$\sum_{k=0}^{n}{r^k} = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$

Donde r se conoce como la razón de la serie

Nuestro trabajo es determinar esta razón, vemos que la ∑ significa la suma de r^k para k desde 0 hasta n, es decir:

$\sum_{k=0}^{n}{r^k}  = r^0 + r + r^2 + r^3 + ... + r^n = 1 + r + r^2 + r^3 +...+ r^n$

Ahora vemos que el millonario dona 1 $  al primer mendigo, luego (1/2)$, después (1/4)$ = (1/2)² $ y así sucesivamente, por lo que necesita

1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + ... + (1/2)^n Dólares para ayudar a n + 1 personas, por lo que en total necesitaría

Por lo que por la fórmula del inicio, este millonario necesitaría un total de

( 1 - (1/2)^(n+1) )/ ( 1 - 1/2) = ( 1 - (1/2)^(n+1) )/ (1/2) = 2[ 1 - (1/2)^(n+1) ] Dolares para ayudar a n+ 1 personas