Question

Un punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (0,5) y (0,-5) es igual a 14. Determina la

ecuación general del lugar geométrico.​

Answer 1

Es un tanto laborioso, pero veamos.

Sea (x, y) el punto buscado.

Se debe cumplir que:

√[(x-0)² + (y+5)²] + √[(x-0)² + (y-5)²] = 14

√[(x-0)² + (y+5)²]  = 14 - √[(x-0)² + (y-5)²] ; quitamos paréntesis y elevamos al cuadrado.

x² + (y+5)² = 196 - 28 √[(x-0)² + (y-5)²] + x² + (y-5)²; reducimos términos.

y² + 10 y + 25 = 196 - 28 √[(x-0)² + (y-5)²]  = y² - 10 y + 25

20 y - 196 = - 28 √[(x-0)² + (y-5)²]: dividimos por 4 y elevamos al cuadrado.

(5 y - 49)² = 49 [x² + (y - 5)²]; quitamos paréntesis:

25 y² - 490 y + 2401 = 49 x² + 49 y² - 490 y + 1225; agrupamos.

49 x² + 24 y² - 1176 = 0

Es una elipse de eje vertical. Su forma canónica es:

x² / 24 + y² / 49 = 1

Adjunto dibujo.

Mateo