Question

Un dispensador de bandejas en una cafetera sostiene una pila de bandejas sobre un anaquel que cuelga de cuatro resortes en espiral idénticos bajo tensión, uno cerca de cada esquina del anaquel. Cada bandeja es rectangular, de 45,3 cm por 35,6 cm, 0,45 cm de grosor y 580 g de masa.
Demuestre que la bandeja superior en la pila siempre está a la misma altura sobre el piso, aunque haya muchas bandejas en el dispensador.
Encuentre la constante de resorte que cada uno debe tener para que el dispensador funcione en esta forma conveniente.
¿Alguna parte de la información es innecesaria para esta determinación?

Answer 1

Para que el dispensador funcione de la forma solicitada (la última bandeja de la pila siempre a la misma altura del suelo), cada resorte debe tener una constante elástica de 316 newton por metro, el largo y ancho de cada charola es irrelevante.

Explicación:

Podemos para este caso plantear una de las condiciones de la estática del cuerpo rígido, la cual dice que la sumatoria de todas las fuerzas tiene que ser nula, en este caso, la suma de las fuerzas elásticas de cada resorte tiene que ser igual al peso de la pila de bandejas. Queda planteada la siguiente igualdad:

$4k\Delta z=n.P_b$

donde n es el número de bandejas en el anaquel, la última bandeja de la pila estará siempre a la misma altura respecto del suelo toda vez que se cumpla la condición:

$\Delta z=n.h_b$

donde hb es el espesor de cada bandeja, por lo que reemplazando esto en la ecuación del equilibrio de fuerzas nos queda:

$4knh_b=n.P_b\\4kh_b=m_b.g\\\\k=\frac{m_bg}{4h_b}=\frac{0,58kg.9,81\frac{m}{s^2}}{4.0,0045m}\\\\k=316\frac{N}{m}$

En este ejercicio resultan irrelevantes las dimensiones largo y ancho de cada charola.