Question

encuentre las dimensiones de un rectángulo con un área de 1000 m2 cuyo perímetro sea lo más pequeño posible.

Answer 1

Las dimensiones del rectángulo tales que el perímetro sea el menor posible son 31,6x31,6 metros.

Explicación paso a paso:

La expresión del perímetro de un triángulo, siendo a y b sus lados es:

$p=2a+2b$

Introduciendo el área puedo colocar toda la ecuación en función de uno de los lados:

$S=ab\\b=\frac{S}{a}$

Y la expresión del perímetro queda:

$p=2a+2\frac{S}{a}\\p=\frac{2a^2+2S}{a}$

Para obtener el perímetro mínimo alcanza con derivar esta expresión y hallar el valor de 'a' donde se cumpla la condición de mínimo la cual es:

f'(a)=0

f''(a)>0

La derivada del perímetro es:

$p'=\frac{4a^2-2a^2-2S}{a^2}=\frac{2a^2-2S}{a^2}$

Para anular la derivada hacemos:

$2a^2-2S=0\\a=\sqrt{s}=\sqrt{1000m^2}\\\\a=31,6m$

Ahora recordando la expresión del área, el otro lado del rectángulo es:

$b=\frac{S}{a}=\frac{1000m^2}{31,6m}=31,6m$

Llegando a la conclusión que dada un área, el rectángulo con el mínimo perímetro es el cuadrado.