Question

Un conductor con la forma de una espira cuadrada con un lado L = 0.2 m lleva una corriente I = 10A. Calcule la magnitud y dirección del campo Magnético en el centro del cuadrado (en el punto [0|0|0])

Answer 1

El campo magnético en el centro del cuadrado es de 56,6 uT y se dirige hacia adentro de la hoja.

Explicación:

Para hallar el campo magnético en el centro aplicamos la ley de Biot-Savart para hallar el campo magnético producido por cada segmento, la expresión general de dicha ley es:

$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int\limits^{}_{L} {\frac{dlx\bar{r}}{r^2}} \,$

donde r es la distancia del punto al elemento diferencial de longitud del conductor, dl es el elemento diferencial de longitud y $\bar{r}$ el versor de la dirección del punto al elemento dl. Queda:

$dl\times \bar{r}=dl.sen(\theta)$

Empezando por el lado inferior que va desde (-0,1;-0,1) y (0,1;-0,1) queda:

$r=\sqrt{x^2+(0,1m)^2}=\sqrt{x^2+0,01}$

$sen(\theta)=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+0,01}}\\dl=dx$

Y queda:

$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int\limits^{}_{L} {\frac{xdx}{(x^2+0,01)^\frac{3}{2}}} \,\\\\u=x^2+0,01=>B=\frac{\mu_0 I}{8\pi}\int\limits^{0,1}_{-0,1} {\frac{du}{(u)^\frac{3}{2}}} \,\\\\B=\frac{4\pi x10^{-7} (10A)}{8\pi}[-\frac{2}{\sqrt{x^2+0,01}}]^{0,1}_{-0,1}\\\\B=1,41x10^{-5}T$

Aplicando la ley de la mano derecha al vector idl y al versor r el campo magnético se dirige hacia adentro de la hoja.

Repetimos el procedimiento con el lado superior que va desde (-0,1;0,1) y (0,1;0,1) donde se dirige Idl hacia la derecha por lo que el campo magnético también se dirigirá hacia dentro:

$B=\frac{4\pi x10^{-7} (10A)}{8\pi}[-\frac{2}{\sqrt{x^2+0,01}}]^{0,1}_{-0,1}\\\\B=1,41x10^{-5}T$

Repitiendo el procedimiento con los dos conductores verticales, los  campos magnéticos irán hacia la hoja también y tendrán la misma magnitud al tener la misma longitud y distancia al punto de interés.

$B=4.1,41x10^{-5}T\\\\B=5,66x10^{-5}T$