Question

La contaminación de los ríos de Estados Unidos ha sido un problema por muchos años. Considere los siguientes eventos: A: el río está contaminado. B: al probar una muestra de agua se detecta contaminación. C: se permite pescar. Suponga que: �(�) = 0.3, �(�|�) = 0.75, �(�|�.) = 0.20, �(�|� ∩ � ) = 0.20, �(�|�. ∩ � ) = 0.15, �(�|� ∩ �.) = 0.80 � �(�|�. ∩ �.) = 0.90. a) Calcule P (A ∩ B ∩ C). b) Calcule P (BC ∩ C). c) Calcule P(C). d) Calcule la probabilidad de que el río esté contaminado, dado que está permitido pescar y que la muestra probada no detectó contaminación.

Answer 1

La probabilidad de que el río este contaminado es de 80%

Explicación:

La contaminación de algunos ríos ha sido un problema por muchos años. Considere los siguientes eventos:

P(A) = 0.3

P(B| A) = 0.75

P(B| A^c) = 0.20

P(C| A∩B) = 0.20

P(C| A^c∩B) = 0.15

P(C| A∩B^c) =0.80

P(C| A^c ∩ B^c) = 0.90

(a) Encontrar  P(A ∩ B ∩ C)

P(B|A) = 0.75

P(B∩A) / P(A) = 0.75

P(B∩A) / 0.3 = 0.75

P(A∩B) = 0.225

P(C | A∩B) = 0.20

P(C∩A∩B) / P(A∩B) = 0.20

P(C∩A∩B) / 0.225 = 0.20

P(A∩B∩C) = 0.045

(b) Encontrar P(B^c ∩ C)

Como:

P(C ) = (B∩C) U (B^c∩C)

P(C) = P(B∩C) + P(B^c∩C)

P(C)=0.14

P(B∩C) = P[A∩(B∩C)] + P[A^c∩(B∩C)] =  0.045 + P[A^c∩(B∩C)]

0.20 = P(B | A^c) = P(A^c ∩ B) / P(A^c) =

P(A^c ∩ B)/(1-0.3) = P(A^c ∩ B)/0.7

P(A^c ∩ B)/0.7 = 0.20

P(A^c ∩ B) = 0.14

0.15 = P(C | A^c ∩ B) = P(A^c ∩ B∩C) / P(A^c∩B) =

P(A^c ∩B∩C) / 0.14

P(A^c ∩B∩C) = 0.15 * 0.14

P(A^c ∩B∩C) = 0.021

Entonces:

P(B∩C) = 0.045+0.021 = 0.066

P(B∩C) =0.066

Ahora si :

0.14 = 0.066 + P(B^c∩C)

P(B^c∩C) = 0.14 - 0.066

P(B^c∩C = 0.074

(c) Encontrar P(C)

Dado que:

0.15 = P(C| A^c ∩ B) = P(A^c ∩B∩C)/P(C)

Como:

P(A^c∩B∩C) = 0.021

0.15 = 0.021 /P(C)

P(C) = 0.021 / 0.15

P(C)= 0.14

(d) Encontrar la probabilidad de que el río está contaminado, dado que la Pesca está permitida y la prueba de una muestra de agua no detecta contaminación.

P(A | B^c ∩ C) = P(A∩B^c ∩ C) / P(B^c ∩ C) =

P(A∩B^c ∩ C) / 0.074

0.8 = P(C|A∩B^c) = P(A∩B^c ∩C) / P(B^c ∩ C)

0.8 = P(A∩B^c ∩C) / 0.074

P(A∩B^c ∩C) = 0.8 * 0.074

P(A∩B^c ∩C) = 0.0592

Sustituyendo este valor

P(A | B^c ∩ C) = 0.0592 / 0.074

P(A | B^c ∩ C)= 0.8