calcular las siguientes funciones racionales:
f(x)= 2x2 - 3/x2 - 1
g(x)= 4x2 - 16/2x2 + 2x + 1
h(x)= x2 - 1/x3 + 3x2 + 3x + 1
Respuestas
Para poder simplificar cada una de las fracciones, simplemente debemos utilizar el siguiente algoritmo de la división
Sea la función f(x) = p(x)/q(x), entonces p(x) se puede escribir como
p(x) = n(x)*q(x) + r(x)
y por consecuencia
f(x) = p(x) / q(x) = n(x) + r(x)/q(x)
Donde n y r son polinomios, tal que grado(r) < grado(p)
En los primeros dos ejercicios nos será muy útil este método. Comenzamos
Sea p(x) = 2x² - 3 y q(x) = x² - 1, entonces
2x² - 3 = n(x)(x² - 1) + r(x)
Como vemos, tanto n(x) como r(x) deben ser constantes puesto que si no grad[n*q] > 2 = grad(p) y esto no puede ser, por lo tanto
2x² - 3 = kx² - k + c
k = 2
c - k = -3
c - 2 = -3
c = -1
Y por lo tanto, se tiene que
(2x³-3)/(x²-1) = 2 -1/(x²-1)
Ahora bien Para el segundo ejercicio, vemos nuevamente que n debe ser una constante k y r puede ser un polinomio de primer grado de la siguiente forma
n(x) = k
r(x) = ax + b
Por lo que
4x² - 16 = 2kx² + 2kx + k + ax + b
4x² - 16 = 2kx² + (2k + a)x + (k+b)
Y por lo tanto se tiene
2k = 4 ⇒ k = 2
2k + a = 0 ⇒ a = -4
k + b = -16 ⇒ b = -16 - 2 = -18
Y por lo tanto
se tiene que
g(x) = (4x² - 16)/(2x² + 2x + 1) = 2 + (-4x - 18)/(2x²+2x + 1) = 2 - 2(2x + 9)/(2x²+2x + 1)
Ahora bien, en el último ejercicio no se puede utilizar el método aplicado anteriormente pues este solo sirve si el numerador tiene un grado mayor o igual al del denominador, pero, en el tercer caso esto no se cumple.
Para poder simplificar la expresión, debemos buscar raíces de ambos polinomios, notamos que x³ + 3x² + 3x + 1 = (x+1)³ y que = (x+1)(x-1) por lo tanto x = -1 es una raíz común de los dos polinomios, lo que queda como
h(x) = (x² - 1)/( x³ + 3x² + 3x + 1 ) = (x-1)(x+1)/(x+1)³ = (x-1)/(x+1)²
Y esta es la expresión simplificada de h(x)