Question

Representa graficamente las siguientes funciones cuadraticas y=x2-4x-5

Answer 1

Hola. Te envío la gráfica.

Primero obtenemos las raíces (ceros) con la fórmula resolvente.

Luego la coordenada del vértice, con las fórmulas de X(vértice) y de Y(vértice), que son las siguientes:

Xv = -b / 2.a

Yv (reemplazo Xv por las X en la función):

Yv = Xv^2 - 4Xv -5

Luego obtengo la intersección con el eje Y (ordenada al origen), que se obtiene reemplazando las X de la función por 0.

Y luego volcar todos los datos en el grafico

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Para graficar una función de este tipo siem*re es útil conocer:

* Las raíces, es decir, donde el gráfico de la función cortará al eje de las 'x', que es donde y=0.

* La ordenada al origen, donde el gráfico corta al eje 'y' y x=0.

*El vértice de la función cuadrática, es decir, en donde se empiezan a abrir las 'ramas' de la parábola.

Entonces, empezamos a buscar:

1) Raíces.

Dijimos que la parábola corta al eje x, entonces reemplazamos 'y' por 0:

$x^{2} -4x-5=0$

Para resolver esto aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones de 2do grado:

$x= \frac{-b +- \sqrt{b^{2} -4ac}}{2a}$

En este caso: a= 1, b=-4, c=-5

$x= \frac{4 +- \sqrt{4^{2} -4.1.(-5)}}{2.1}=\frac{4+-6} {2}$

Lo que da

$x_{1}=5 \ y \ x_{2}=-1$

Es decir, corta al eje de las 'x' en los puntos P1=(5,0) y P2=(-1,0)

2) Ahora la ordenada al origen, donde x=0.

$y=0^{2}-4(0)-5=-5$

Es decir, en el punto P3=(0,-5).

3) Vértice. Para esto hay que llevar la ecuación a la forma canónica.

Una forma de hacerlo es con el método de completar cuadrados:

$y = x^{2} -4x-5$

Ahora debemos separar unos los primeros términos

$y = (x^{2} -4x )-5$

Sabemos que el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) es de la forma

$(a+b)^2=a^{2}+2ab+b^2$

En este caso, en lo que separamos entre paréntesis, vemos:

$a=x$ ya que nuestro primer término es $a^2=x^2$

El segundo término es $2ab$, en nuestro caso ya conocemos a, entonces $2ab=2xb$ que es de la forma del segundo término de nuestro paréntesis $2xb=-4x$. Lo que tenemos que hacer ahora es despejar "b":

$2xb=-4x \\b= \frac{-4x}{2x}\\ b= -2$

Así, nuestro TCP sería de la forma $x^2-4x+4$

Lo que tenemos que hacer ahora es "meter" este TCP a la función, pero como ahora vemos que apareció el "+4", para que no cambie nada, debemos restarle un "-4". Así:

$y=(x^2-4x+4)-4-5$

Comprimimos el TCP de la forma que conocemos y resolvemos la resta que tenemos

$y=(x-2)^2-9$

Y acá ya podemos conocer el vértice, ya que la fórmula canónica nos permite conocer las coordenadas del vértice $V=(x_{o},y_{o})$

$y=(x-x_{o})^2+y_{o}$

En nuestro caso

$x_{o}=2\\y_{o}=-9$

El vértice es $V=(2,-9)$

4) Teniendo estos 4 puntos ya ubicamos, podemos dibujar la parábola.