Demostrar que si n es un entero positivo, cualquier potencia n-ésima de π es un número irracional.
Respuestas
Respuesta: VER DEMOSTRACIÓN.
Explicación paso a paso:
Supongamos que π^n es un número racional con infinitas cifras decimales. Después se puede demostrar lo mismo suponiendo que π^n es un racional no periódico.
Sea π^n = E, d1d2d3..dL d1d2d3..dL d1d2d3..dL ... (1), donde d1d2d3..dL es el periodo de L dígitos y E es un número entero positivo.
Al multiplicar en (1) por 10^L, se obtiene:
(10^L) π^n = E d1d2d3, d1d2d3..dL d1d2d3..dL ... (2).
Al restar miembro a miembro (2) menos (1), queda:
(10^L) π^n - π^n = (Ed1d2d3..dL) - E. De donde resulta:
[(10^L) - 1] π^n = (Ed1d2d3..dL) - E
Si hacemos M = (Ed1d2d3..dL) - E, se obtiene:
[(10^L) - 1] π^n = M, y así:
[(10^L) - 1] π^n - M = 0 .............(3)
Pero al ser π un irracional trascendente, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Por tanto, hemos llegado a un absurdo.
La suposición según la cual π^n es racional periódico, es falsa.
Sea ahora π^n un racional no periódico.
Supongamos que π^n = E, d1d2d3..dL, tenemos que:
(10^L) π^n = Ed1d2d3..dL
⇒(10^L) π^n - Ed1d2d3..dL = 0
Del mismo modo hemos llegado a un absurdo. Y la suposición según la cual π^n es un racional no periódico, también es falsa.
Finalmente, π^n es un número irracional.