Question

Demostrar que si n es un entero positivo, cualquier potencia n-ésima de π es un número irracional.

Answer 1

Respuesta: VER DEMOSTRACIÓN.

Explicación paso a paso:

Supongamos que  π^n  es un número racional con infinitas cifras decimales. Después se puede demostrar lo mismo suponiendo que π^n es un racional no periódico.

Sea π^n = E, d1d2d3..dL d1d2d3..dL d1d2d3..dL ... (1), donde d1d2d3..dL es el periodo de L dígitos y E es un número entero positivo.

Al multiplicar en (1) por 10^L, se obtiene:

(10^L) π^n = E d1d2d3, d1d2d3..dL d1d2d3..dL ... (2).

Al restar miembro a miembro  (2) menos (1), queda:

(10^L) π^n  -  π^n  =  (Ed1d2d3..dL) - E. De donde resulta:

[(10^L) - 1] π^n  =  (Ed1d2d3..dL) - E

Si hacemos  M = (Ed1d2d3..dL) - E, se obtiene:

[(10^L) - 1] π^n  = M, y así:

[(10^L) - 1] π^n  -  M  = 0 .............(3)

Pero al ser π un irracional trascendente, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Por tanto, hemos llegado a un absurdo.

La suposición según la cual π^n es racional periódico, es falsa.

Sea ahora π^n un racional no periódico.

Supongamos que  π^n  = E, d1d2d3..dL, tenemos que:

(10^L) π^n  =  Ed1d2d3..dL

⇒(10^L) π^n  -  Ed1d2d3..dL = 0

Del mismo modo hemos llegado a un absurdo. Y la suposición según la cual π^n es un racional no periódico, también es falsa.

Finalmente, π^n es un número irracional.