Question

Al escalar una montaña que tiene varios riscos en voladizo, un alpinista deja caer una piedra desde el primer risco, para determinar su altura midiendo el tiempo tarda en escuchar que la piedra golpee el suelo. a) En un segundo risco, con doble de altura que el primero; el tiempo medido del sonido de la piedra que se deja caer ahí es 1)menos que el doble 2)el doble 3) mas que el doble del primero. ¿Por qué? b) Si el tiempo medido es de 4.8 seg para la piedra que se deja caer desde el primer risco y la temperatura del aire es de 20º ¿Que tan alto es el risco? c) Si la altura del tercer risco es 3 veces mayor que la del primero. ¿Cual sera el tiempo medido para una piedra que se deja caer ahí hasta que toca el suelo?

Answer 1

Si hay dos precipicios, el segundo con el doble de altura que el primero, el tiempo medido del sonido de la piedra cayendo desde el segundo risco es menos del doble que el tiempo medido en el primero.

En el caso particular de medir 4,8 segundos de tiempo de caída, eso indica una altura de 99,9 metros y en un risco con el triple de esa altura la medición será de 8,69 segundos, con lo que confirmamos la afirmación hecha antes.

Explicación:

El movimiento de la piedra es uniformemente acelerado con velocidad inicial nula, y si consideramos como referencia al alpinista, la posición inicial también sería nula, la ecuación horaria sería:

$z=\frac{1}{2}gt^2$

a) De ahí podemos despejar el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo como:

$z=\frac{1}{2}gt^2\\\\t=\sqrt{\frac{2z}{g}}$

En esta ecuación se está despreciando el tiempo en que la onda sonora llega al oído del escalador, considerando esto queda:

$t=\sqrt{\frac{2z}{g}}+\frac{z}{v_s}$

Si ahora duplicamos la altura del precipicio tenemos:

$2z=\frac{1}{2}gt^2\\\\t=\sqrt{\frac{4z}{g}}+\frac{2z}{v_s}$

Para este análisis podemos considerar que para las alturas típicas que se dan en montañas reales, el segundo término de ambas expresiones es mucho menor que el primero, siendo el tiempo medido en el segundo caso menos del doble que en el primer caso ya que la relación entre ambos tiempos (dividiendo entre sí ambas expresiones) será aproximadamente $\sqrt{2}$.

b) De la expresión que hallamos podemos despejar la altura:

$t=\sqrt{\frac{2z}{g}}+\frac{z}{v_s}$

$t-\frac{z}{v_s}=\sqrt{\frac{2z}{g}}\\\\t^2-2\frac{zt}{v_s}+\frac{z^2}{v_s}=\frac{2z}{g}$

Queda resolver la ecuación cuadrática, vamos reemplazando valores:

$v_s=\sqrt{\frac{\gamma.RT}{M}}=\sqrt{\frac{1,4.8,31.293K}{0,029g/mol}}=342,85\frac{m}{s}\\\\(4,8s)^2-2\frac{z.4,8s}{342,85}+\frac{z^2}{(342,85)^2}=\frac{2z}{9,81}\\\\8,51x10^{-6}t^2-0,232z+23,04=0\\\\z=\frac{0,232\ñ\sqrt{0,232^{2}-4.8,51x10^{-6}.23,04}}{2.8,51x10^{-6}}\\\\z=13631m\\z=99,9m$

Reemplazando ambas soluciones en la ecuación original vemos que solo la segunda da un tiempo de 4,8 segundos, por ende la altura del risco es de 99,9 metros.

c) Si la altura del tercer risco es 3 veces mayor, esta es de 299,7 metros, el tiempo medido es:

$t=\sqrt{\frac{2.z}{g}}+\frac{z}{v_s}\\\\t=\sqrt{\frac{2.299,7m}{9,81m/s^2}}+\frac{299,7m}{342,85m/s}\\\\t=8,69s$