Question

Si se desea obtener el volumen máximo que se pueda hacer a partir de una pieza rectangular de cartón de 20 x 25 cm. de lado, cortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando éstas hacia arriba. ¿qué valor debe tener la altura de una caja?

Answer 1

Para que el volumen de la caja fabricada con solo esta plancha de cartón sea el máximo posible, su altura tiene que ser de 3,68 centímetros.

Explicación:

Si se recortan en cada esquina sendos cuadrados de lado 'h' que luego se doblan hacia arriba para hacer la caja, el área de la base será:

$A=(20-2h)(25-2h)$

Debido a que los pliegues restarán a cada lado de la base 2 veces la altura de la caja, el correspondiente volumen es:

$v=h(20-2h)(25-2h)=h(500-50h-40h+4h^2)\\\\v=4h^3-90h^2+500h$

El volumen máximo lo obtendremos derivando la expresión obtenida e igualándola a cero:

$\frac{dv}{dh}=12h^2-180h+500=0$

Con lo cual queda resolver la ecuación cuadrática:

$h=\frac{180\ñ\sqrt{(-180)^2-4.12.500}}{2.12}\\\\h=11,3cm\\h=3,68cm$

Para identificar qué punto de los hallados corresponde a un máximo se evalúa la derivada segunda, si esta es negativa, el punto es un máximo:

$\frac{d^2v}{dh^2}=36h-180=0\\\\36.3,68-180=-47,52\\36.11,3-180=226,8$

De aquí concluimos que el máximo volumen lo tendremos con h=3,68cm