En una proporción geométrica la suma de los extremos es 21 y la suma de los medios 19. Halle el menor de los términos de dicha proporción si la suma de los cuadrados de los 4 términos es igual a 442.
Respuestas
El menor de los términos de dicha proporción es 6
Explicación paso a paso:
Proporción geométrica:
a/b=c/d
a y d son los extremos
b y c son los medios
La suma de los extremos es 21:
a+d = 21
6+15=21
La suma de los medios es 19:
b+c = 19
9+10 = 19
Halle el menor de los términos de dicha proporción, si la suma de los cuadrados de los 4 términos es igual a 442.
a²+b²+c²+d² = 442
(6)²+(9)²+(10)²+(15)² =442
36+81+100+225 = 442
(a/b)=(c/d)
ad=bc
a+d=21
(a+d)²=21²
a²+d²+2ad=441
b+c=19
(b+c)²=19²
b²+c²+2bc=361
Sumamos las ecuaciones resultantes:
a²+d²+2ad=441
b²+c²+2bc=361
a²+b²+c²+d²+2ad+2bc=441+361
a²+b²+c²+d²+2(ad+bc)=802
442+2(ad+bc)=802
2(ad+bc)=360
ad+bc=180
Como ad=bc
Entonces:
bc+bc=180
2bc=180
bc=90
De esta manera obtenemos dos números que multiplicados den 90 y sumados 19
b=10
c=9
De esta manera obtenemos dos números que multiplicados den 90 y sumados 21
si a+d=21
ad=90
a=15
d=6
El menor de los términos es 6
Respuesta:
6
Explicación paso a paso:
*se sabe:
(a/b)=(c/d)=K → proporción geométrica
a,d : terminos extremos
b,c : terminos medios
k: razon
a: 1er termino
b: 2do termino
c: 3er termino
d: 4to termino
(x+y)²=x²+y²+2xy
*datos:
a+d=21
b+c=19
a²+b²+c²+d²=442
*resolviendo:
➨ (a/b)=(c/d)
ad=bc
➨ a+d=21
(a+d)²=21²
a²+d²+2ad=441
➨ b+c=19
(b+c)²=19²
b²+c²+2bc=361
ahora
sumando
a²+d²+2ad=441
b²+c²+2bc=361
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a²+b²+c²+d²+2ad+2bc=441+361
a²+b²+c²+d²+2(ad+bc)=802
442+2(ad+bc)=802
2(ad+bc)=360
ad+bc=180
bc+bc=180
2bc=180
bc=90
∴
si b+c=19 ∧ bc=90 → b=10 ∧ c=9
si a+d=21 ∧ ad=90 → a=15 ∧ d=6
∴
El menor termino es 6