Question

Un triángulo equilátero de lado igual a 30cm está circunscripto en la circunferencia C1 y circunscribe la circunferencia C2.

a) Calcular la longitud (perímetro) de la circunferencia mayor (C2)

b) Calcular la superficie de la corona circular formada por C1 y C2.

c) Calcular el porcentaje que representa la superficie del círculo menor respecto del círculo mayor.​

Answer 1

Aplicaremos la relaciones entre el lado del triángulo equilátero y los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a él.

Explicación paso a paso:

El centro de la circunferencia circunscrita al triángulo se conoce como circuncentro y el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo se conoce como incentro.  

En un triángulo equilátero coinciden el ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro; por lo tanto podemos relacionar:

El radio de la circunferencia circunscrita con la altura del triángulo y se establece que el radio es igual a dos tercios de la altura.

El radio de la circunferencia inscrita con el apotema del triángulo y se establece que el radio es igual al apotema.

Llamemos  

l  a la longitud del lado del triángulo equilátero,  

r  al radio de la circunferencia circunscrita al triángulo,

ap  al radio (apotema) de la circunferencia inscrita,

h  a la altura del triángulo

$h=\frac{\sqtr{3}}{2}l=\frac{\sqtr{3}}{2}(30)=15\sqtr{3}~cm$

$r=\frac{2}{3}h \qquad\Rightarrow\qquad r=\frac{l}{\sqrt{3} }=\frac{30}{\sqrt3}}=10\sqrt{3}~cm$

$ap=\frac{\sqrt{3}}{6}l=\frac{\sqrt{3}}{6}(30)=5\sqrt{3}~cm$

a) Calcular la longitud (perímetro = p) de la circunferencia mayor (C1)

$p~de~C1~=~2\pi r~=~2\pi(10\sqrt{3})~=~\bold{20\sqrt{3}\pi~cm}$

El perímetro de la circunferencia mayor es de 108,83  cm² aproximadamente

b) Calcular la superficie (S) de la corona circular formada por C1 y C2.

S  =  área de C1 (AC1)  -  área de C2 (AC2)

$S~=~\pi r^{2}~-~\pi(ap)^{2}~=~\pi(10\sqrt{3})^{2}~-~\pi(5\sqrt{3})^{2}~=~\bold{225\pi~cm^{2}}$

La superficie (S) de la corona circular formada por C1 y C2 es de 706,86 cm2² aproximadamente.

c) Calcular el porcentaje que representa la superficie del círculo menor respecto del círculo mayor.

$Porcentaje~que~representa~C2~de~C1~=~\frac{AC2}{AC1}*100~=~\frac{\pi(5\sqrt{3})^{2}}{\pi(10\sqrt{3})^{2}}*100~=~\bold{25~^{0}/_{0}}$

La superficie del círculo menor respecto a la del círculo mayor representa el 25%.