Hallar tres terminos consecutivos de una progresion aritmetica,sabiendo que si el primer término se le suma 2,al segundo 5 y al tercero 13 se obtienen numeros proporcionales a 15,30 y 60
Respuestas
Los términos de la progresión aritmética que deseamos obteneser son: 43, 85 y 127
Una progresión aritmética es una sucesión en la que si restamos dos términos consecutivos de la misma esta diferencia es constante, es decir cada termino se obtiene sumando el anterior por una constante llamanda diferencia denotada con la letra “d”.
El nesimo termino se obtiene con la ecuación:
an = a1 + d *(n-1)
En este caso: los primeros tres términos
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
Si al primero le sumo 2, al segundo 5 y al tercero 13 obtengo:
a1 + 2
a1 + d + 5
a1 + 2d + 13
Que son proporcional a 15,30 y 60 sea k la proporción:
a1 + 2 = 15*k
1. a1 = 15*k - 2
2. a1 + d + 5 = 30*k
3. a1 + 2d + 13 = 60*k
Sustituyo 1 en las ecuaciones 2 y 3:
15k - 2 + d + 5 = 30k
d + 3 = 30k - 15k = 15k
4. d + 3 = 15k
15k - 2 + 2d + 13 = 60k
2d + 11 = 60k - 15k = 45k
5. 2d + 11 = 45k
Multiplico la ecuación 4 por -2:
6. -2d - 6 = - 30k
Sumo la ecuación 5 con la ecuación 6:
5 = 15k
k = 15/5 = 3
Sustituyo en 6:
-2*d - 6 = - 30*3 = -90
-2d = -90 + 6 = -84
2d = 84
d = 84/2 = 42
Sustituyo en 1:
a1 = 15*3 - 2 = 43
Los otros términos son:
a2 = 43 + 42 = 85
a3 = 85 + 42 = 127