Question

Utilizando la factorización, determine la mínima expresión para:

Answer 1

Al reducir la expresión planteada, esta queda en $\frac{x+1}{2}$

Explicación paso a paso:

La expresión algebraica se puede empezar a reducir aplicando al denominador de la primera fracción la propiedad de la diferencia de cuadrados:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\\\=>4x^2-9=(2x+3)(2x-3)$

Para factorizar el numerador de la primera fracción se empieza hallando las raíces:

$2x^2-x-3\\\\x=\frac{1\ñ\sqrt{1^2+4(-3).2}}{2.2}=\frac{1\ñ5}{4}\\\\x=\frac{3}{2}\\x=-1$

Y la factorización queda:

$2x^2-x-3=2(x-\frac{3}{2})(x+1)=(2x-3)(x+1)$

La expresión queda:

$\frac{2x^2-x-3}{4x^2-9}.\frac{8x^3+27}{8x^2-12x+18}=\frac{(2x-3)(x+1)}{(2x-3)(2x+3)}.\frac{8x^3+27}{8x^2-12x+18}\\\\=\frac{x+1}{2x+3}\frac{8x^3+27}{8x^2-12x+18}$

Se puede proseguir factorizando el denominador de la segunda fracción:

$8x^2-12x+18\\\\x=\frac{12\ñ\sqrt{(-12)^2-4.8.18}}{2.8}=\frac{12\ñ\sqrt{(-12)^2-4.8.18}}{16}$

No es posible factorizarlo porque no tiene raíces reales, probemos con el numerador de la segunda fracción:

$8x^3+27=0\\x=-\frac{3}{2}$

El resultado de aplicar Ruffini con la raíz hallada es:

$8x^3+27=(x+\frac{3}{2})(8x^2-12x+18)=\frac{1}{2}(2x+3)(8x^2-12x+18)$

Y la expresión principal queda:

$\frac{x+1}{2x+3}\frac{(2x+3)(8x^2-12x+18)}{2(8x^2-12x+18)}=\\\\=\frac{x+1}{2}$