Sea f una función continua en el intervalo cerrado [-2,2]. Algunos valores de f
se muestran en la siguiente tabla:
x -2 -1 0 1 2
f(x) 7 5 2 -1 0.5
¿Determine el intervalo que contiene una solución de f(x)=0
¿Se podría decir que en el intervalo [-2, 2] existen dos soluciones reales?
Respuestas
Los intervalos que contienen una función de f(x)=0 son [0,1] y [1,2], lo que conduce a concluir que en el intervalo [-2,2] existen al menos dos soluciones de f(x)=0.
Explicación:
Para determinar el intervalo de la función dentro del cual hay un valor de x tal que f(x) es 0 se aplica el teorema de Bolzano con los valores proporcionados. Dicho teorema dice que existe en el intervalo [a,b] una raíz real de la función si es f(a).f(b)<0. Corolario de esto es que f(a) y f(b) tienen que tener signos opuestos para que haya una raíz entre a y b.
Un par de valores de x para los que se cumplen las hipótesis de Bolzano son x=0 y x=1, puesto que allí:
f(0).f(1)=2(-1)=-2
También cumple la hipótesis de Bolzano el par de valores x=1 y x=2 ya que allí es:
f(1).f(2)=-1.0,5=-0,5
Por ende concluimos que la función vale 0 en un punto dentro del intervalo cerrado [0,1] y también en el intervalo cerrado [1,2].
Y al haber encontrado dos intervalos distintos, sin puntos en común en los que existen raíces reales de f(x), puede decirse que f(x) tiene al menos dos raíces reales en el intervalo [-2,2].
Decimos "al menos", porque en realidad las hipótesis del teorema de Bolzano se cumplirán siempre que exista un número impar de raíces dentro del intervalo considerado.