Question

Aplicando la definición o regla general, hallar la derivada de las siguientes funciones, dónde a,b,c y m son contantes.




b) y= 3x²+5x-1







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Answer 1

Y= 9x + 5x -1
Y= 14x -1

Answer 2

La definición de derivada es

$Lim_{h→0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Vamos a usarla en algunos pasos.

1) Vamos a encontrar la composición de la función "f(x+h)"

$f(x+h)=3(x+h {)}^{2} +5(x+h)-1$

2) Vamos a restarle a la función composición la función original y vamos a simplificar todo

$f(x+h) - f(x)=3( {x}^{2} + 2xh + {h)}^{2} +5x+5h-1 - 3 {x}^{2} - 5x + 1$

$f(x+h) - f(x)=3 {x}^{2} + 6xh + 3 {h}^{2} +5x+5h-1 - 3 {x}^{2} - 5x + 1$

$f(x+h) - f(x)= 6xh + 3 {h}^{2} +5h$

3) Vamos a dividir la expresión entre "h"

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{ 6xh + 3 {h}^{2} +5h }{h}$

3.1) Vamos a simplificar lo que podamos por ejemplo podemos factorizar una "h"

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{h( 6x + 3h+5)}{h}$

3.2) Podemos simplificar la "h" que está multiplicando en el numerador con la "h" que está dividiendo en el denominador.

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} =( 6x + 3h+5)$

4) Vamos a calcular el límite cuando "h" tiende a cero de la expresión que tenemos.

$Lim_{h→0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = Lim_{h→0}(6x + 3h + 5)$

$Lim_{h→0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = (6x + 3(0) + 5)$

Simplificamos

$Lim_{h→0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 6x + 5$

Y cambiamos la expresión del miembro izquierdo por el símbolo de derivada

$\frac{dy}{dx} = 6x + 5$

Esa sería la respuesta, espero haberte ayudado.