1) Demostrar que el triángulo de vértices (-1,2), (-3,1), (-2,4) es isósceles y rectángulo.
2) Si los vértices de un triángulo son (1, -2), (2.-5). (5, -2/3) demostrar que es un triángulo rectángulo.
3) Si M (2,3) es el punto medio de AB, y B (7, 5), calcular las coordenadas de A?
4) Demostrar que los puntos A (0, -2). B (2,4) y C (1,1) son colineales.
5) La distancia entre los puntos A (5, 1) y B (5, y) es igual a 8 ¿cuánto vale y?
6) Averiguar que los puntos A (-2, 4), B(4, -5) y C (1, -1/2) son colineales utilizando las pendientes.
Respuestas
1) Demostrarción de que el triángulo de vértices (-1,2), (-3,1), (-2,4) es isósceles y rectángulo:
(-1,2), (-3,1), (-2,4)
Distancia entre dos puntos :
d = √( x2-x1)²+ ( y2 -y1 )²
d = √( -3-(-1))²+ ( 1 - 2)² = √5
d = √( -2- (-3))²+ ( 4 - 1 )² = √10 Es un triángulo isosceles, porque
d = √( -2-(-1))²+ ( 4 - 2 )² = √5 la longitud de dos lados iguales .
Teorema de pitagoras :
h² = cat²+ cat²
( √10 )² = (√5 )²+ (√5 )²
10 = 5 +5 = 10 Es triángulo rectángulo, porque cumple con
el teorema de pitagoras.
2) Demostración de que es un triángulo rectángulo : (1, -2), (2.-5). (5, -2/3)
Distancia entre dos puntos :
d = √( x2-x1)²+ ( y2 -y1 )²
d = √( 2-1)²+ (-5- (-2))² = √10
d = √( 5 -2 )²+ ( -2/3 -( -5))² = √(250/9)
d = √( 5 -1 )²+ ( -2/3 -( -2) )² = √(160/9)
El triángulo es rectangulo, porque cumple con el teorema de pitágoras, como se demuestra:
h² = cat² + cat²
(√(250/9) )² = (√(160/9) )²+ ( √10)²
250/9 = 160/9 + 10
250 /9 = 250 /9
3) Si M (2,3) es el punto medio de AB y B (7, 5) :
coordenadas de A= ?
Pm = ( x1+x2/2 , y1 +y1 /2 ) Punto medio
( 2,3 ) = ( x+ 7/2 , y +5/2 )
( x + 7 )/2 = 2 ⇒ x = -3
(y + 5 )/2 = 3 ⇒ y = 1 A ( -3 ,1 )
4) Demostración de que los puntos A (0, -2). B (2,4) y C (1,1) son colineales :
Se calculan las pendientes entre ellos:
m= (y2-y1)/(x2-x1 )
mAB = (4-(-2))/(2-0) = 3
mBC = ( 1-4)/(1-2 ) = -3/-1 = 3
mAC = ( 1- ( -2 ))/(1-0) = 3
Como las pendientes dan iguales, se concluye que son colineales.
5) La distancia entre los puntos A (5, 1) y B (5, y) es igual a 8 :
y =?
Distancia entre dos puntos :
d = √( x2-x1)²+ ( y2 -y1 )²
8 =√( 5- 5)²+ ( y - 1 )² al elevar al cuadrado :
64 = (y -1 ) ² ⇒ y-1 = ± 8 y = 9 y y = -7
6) Al averiguar si los puntos A (-2, 4), B(4, -5) y C (1, -1/2) son colineales, utilizando las pendientes, resulta:
Pendiente :
m= (y2-y1)/(x2-x1 )
mAB = (-5 - 4)/(4 - (-2 )) = -9/6 = - 3/2
mBC = ( -1/2-(-5)/(1- 4 ) = (9/2)/-3 = - 3/2
mAC = ( -1/2- 4)/(1-(-2)) = (-9/2)/3 = -3/2
Los puntos son colineales, debido a que las pendientes dan iguales.