Un estudiante de administración de empresas del Nowledge College necesita completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de administración tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de cursos ajenos al área de administración deberá ser mayor que o igual a 20. El curso de administración promedio requiere un libro de texto que cuesta $60 e implica 120 horas de estudio. Los cursos ajenos al área de administración requieren un libro de texto que cuesta $24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone de un presupuesto de $3,000 para libros. a.Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones. b.Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual. c. ¿Con qué combinación de cursos de administración y otros ajenos a esta área se minimizaría el número total de horas de estudio? d.Identifique las variables de holgura o superávit.
Respuestas
El estudiantes de administración de empresas del Nowledge College debe tomar 40 asignaturas de administración y 25 ajenas a la administración con la finalidad de minimizar las horas de estudio, donde invertirá 9800 horas.
Sean las variables:
x: cursos de administración que tomara
y: cursos ajenos al área de administración
El curso de administración: requiere un libro de $60 e implica 120 horas de estudio
El curso ajeno a la administración: requiere un libro que cuesta $24 e implica 200 horas de estudio
Dispone de $3000
Función objetivo: cantidad de horas de estudio (se desea minimizar), pues es la variable que no ofrece restricción.
F(x) = 120*x + 200*y
Restricciones:
Cursos necesarios son 65: x + y = 65
Número mínimo de cursos de administración: x ≥23
Número mínimo de cursos ajenos: x ≥ 20
Disponibilidad de dinero x*$60 + y*$24 ≤ $3000
El problema queda:
Min F(x) = 120*x + 200*y
S.A.
x + y = 65
x ≥23
y ≥ 20
x*$60 + y*$24 ≤ $3000
Graficamos la región factible: como hay una restricción de igualdad la región factible estará encima de la recta y = 65 - x (x + y = 65) que es graficada en rosado, de manera visual vemos que hay dos puntos que cumplen con todas las condiciones, estos puntos se pueden observar en la imagen. El punto de intersección de las rectas y = 65 - x y la recta y = 125 - x*2.5, y el punto de intersección de las rectas y = 65 - x y la recta x = 23
Por gráfica se puede observar: que como las materias correspondiente a y son las que ocupan mayor cantidad de horas, entonces el punto correcto sera el que tenga menor cantidad de horas en y que es el punto de intersección entre y = 65 - x y la recta y = 125 - x*2.5, sin embargo procedemos de forma analítica para verificar
Veamos cuales son los puntos:
- Si y = 65 - x ∧ y = 125 - x*2.5
65 - x = 125 - 2.5*x
-x + 2.5*x = 125 - 65
1.5*x = 60
x = 60/1.5 = 40
y = 65 - 40 = 25
P1(40,25)
- Si y = 65 - x ∧ x = 23
y = 65 - 23 = 42
P2(23,42)
Los puntos son: P1(40,25); P2(23,42)
Evaluamos en la función objetivo: de manera de ver cual minimiza la solución
P1: 120*40 + 200*25 = 4800 + 5000 = 9800
P2: 120*23 + 200*42 = 2760 + 8400 = 11160
El punto P1(40,25) es el que minimiza la función.
C) se minimiza la cantidad de horas de estudios con 40 asignaturas de administración y 25 asignaturas ajenas a la administración y tendrá que invertir 9800 horas
Las variables de holgura: respecto a la cantidad de cursos de administración (s1), se toman 40 y se debían tomar mínimo 23
S1 = 40 - 23 = 17
Cursos ajenos de la administración (s2)=: se toman 25 y se debían tomar mínimo 20
S2 = 25 - 20 = 5
