Question

El movimiento del pistón de un motor de automóvil es aproximadamente armónico simple. a. Si la carrera del pistón (el doble de la amplitud) es de 10 cm y el motor trabaja a 3500 rev/min, calcule la magnitud de la aceleración que tiene el pistón en el extremo de su carrera, en m/s2. b. Si el pistón tiene una masa de 450 g, calcule la fuerza neta en newton que se ejerce sobre él en ese punto. ¿Cuál sería la masa en kg con un peso equivalente a esta fuerza? c. Calcule la magnitud de la velocidad en m/s y la energía cinética en J que tiene el pistón en el punto medio de su carrera. d. Calcule la potencia media en watt y en hp, que se requiere para acelerar el pistón desde el reposo, hasta la rapidez determinada en la letra c

Answer 1

En el pistón del motor planteado la aceleración máxima es de 6717 metros por segundo cuadrado, para conseguir tal aceleración se necesita una fuerza de 3kN, la velocidad máxima del pistón es de 18,3 metros por segundo, con una energía cinética de 75,6J y la potencia media para acelerar el pistón hasta dicha velocidad máxima es de 17,6kW ó 23,6hp.

Explicación:

En todo movimiento armónico simple empezamos planteando la ecuación de posición donde A es la amplitud del movimiento:

$x(t)=A.sen(wt)$

a) Partiendo de esta ecuación la aceleración es la derivada segunda de la posición:

$a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-Aw^2.sen(wt)$

Donde vemos que en el extremo de la carrera del pistón la aceleración será máxima y demagnitud $Aw^2$

Si el motor trabaja a 3500rpm, su frecuencia será:

$f=3500rpm.\frac{1min}{60s}=58,3Hz$

Y su velocidad angular w es:

$w=2\pi.f=2\pi.58,3Hz=367s^{-1}$

Y la aceleración en el extremo de la carrera del pistón es:

$a=Aw^2=0,05m.(367s^{-1})^2=\\\\a=6717\frac{m}{s^2}$

b) Si el pistón tiene una masa de 450g, para que tenga esa aceleración, la fuerza según la segunda ley de Newton es:

$F=ma=0,45kg.6717\frac{m}{s^2}=3023N\\\F=3kN$

Para que el peso de un cuerpo sea equivalente a esa fuerza, su masa tiene que ser:

$P=mg\\m=\frac{P}{g}=\frac{3022N}{9,81\frac{m}{s^2}}\\\\m=308kg$

c) La velocidad máxima de acuerdo a la ecuación horaria de velocidad la tenemos en el punto medio de la carrera del pistón y su valor es $v=Aw$

Si reemplazamos valores tenemos:

$v=0,05m.367s^{-1}\\\\v=18,3\frac{m}{s}$

Si la masa del pistón es de 0,45kg, la correspondiente energía cinética es:

$E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}.0,45kg.(18,3\frac{m}{s})^2\\\\E=75,6J$

d) Y en este movimiento armónico simple, para acelerar al pistón desde el reposo hasta la velocidad máxima se invierte un cuarto del periodo de oscilación. Por lo que la potencia es:

$P=\frac{E}{t}=\frac{E}{\frac{T}{4}}=4Ef\\\\P=4.75,6J.58,3Hz=17,63kW\\\\P=17,63kW.\frac{1hp}{746W}=23,6hp$