Respuestas
El ángulo entre el plano L y la recta r es 62º 58'
Para poder determinar el ángulo entre la recta y un plano, simplemente debemos restar 90 grados al ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal del plano
El vector director a la recta
r: x = 2 - k
y = 3 + 2k
z = 0 + 2k
Es el vector n = (-1, 2, 2)
Además el vector normal al plano L: 2x-y-3z+1 = 0
Es m = (2, -1, -3),
El ángulo α entre estos se obtiene mediante la siguiente fórmula
cos(α) = (n * m) / ( |n| |m| )
Donde n*m es el producto punto de los vectores n y m , así como | . | es la magnitud del vector, entonces tenemos
n * m = (-1, 2, 2) * (2, -1, -3) = (-1)(2) + (2)(-1) + (2)(-3) = -2 - 2 - 6 = -10
|n| = √[ (-1)² + (2)² + (2)² ] = √( 1 + 4 + 4) = √9 = 3
|m| = √[ (2)² + (-1)² + (-3)² ] = √( 4 + 1 + 9 ) = √14
Y por lo tanto
cos(α) = (n * m) / ( |n| |m| ) = (-10)/(3√14) = -(5√14/21)
α = arcos(-5√14/21) = 152º 58'
Por lo que el ángulo entre el plano L y la recta r es
| α - 90 |= | 152º 58' - 90º |= 62 º 58'