Determina La Derivada De Las Funciones Racionales Utilizando La Definición De La Derivada Por Límites
Respuestas
La pregunta completa es:
f(x) = 5x/x+3
f(x) = 4/x²-1
f(x) = x-3/x+1
La derivada de una función nos da el incremento instantáneo de la misma, usando derivadas por limites obtenemos que:
La derivada de una función: evaluado en un punto nos da la ecuación de la recta tangente a la gráfica que forma dicha función y que pasa por dicho punto. También es el incremento instantáneo de la función
Sea f(x) una función entonces su derivada f'(x) esta dado por la ecuación:
lim h -> 0 ((f(x+h) - f(x))/h)
Aplicamos para cada caso derivada por definición:
- f(x) = 5x/x+3
f'(x) = lim h -> 0 (((5*(x +h)/(x + h + 3)) - 5x/x+3)/h)
= lim h -> 0 ( ((x + 3)*5*(x + h) - (x + h + 3)*5x)/((x + h + 3)*(x+3)*h) )
= lim h -> 0 ( (5*(x² + xh + 3x + 3h) - (x² + xh + 3x)*5)/((x + h + 3)*(x+3)*h) )
= lim h -> 0 ( (5*x² + 5xh + 15x + 15h - 5x² - 5xh -15x) /((x + h + 3)*(x+3)*h) )
= lim h -> 0 ( 15h/((x + h + 3)*(x+3)*h) )
= lim h -> 0 ( 15/((x + h + 3)*(x+3)) )
=15/((x+3)²)
- f(x) = 4/x²-1
f'(x) = lim h -> 0 ( (4/((x+h)² - 1) - 4/(x² - 1)) /h)
= lim h -> 0 ( (4*(x² - 1) - 4*((x+h)² - 1)) /(((x+h)² - 1)*(x² - 1)*h) )
= lim h -> 0 ( (4*(x² - 1) - 4*(x² + 2xh + h² - 1)) /(((x+h)² - 1)*(x² - 1)*h) )
= lim h -> 0 ( (4x² -4 - 4x² - 8xh -4h² + 4)) /(((x+h)² - 1)*(x² - 1)*h) )
= lim h -> 0 ( (- 8xh -4h²) /(((x+h)² - 1)*(x² - 1)*h) )
= lim h -> 0 ( (h*(- 8x -4h)) /(((x+h)² - 1)*(x² - 1)*h) )
= lim h -> 0 ( (- 8x -4h) /(((x+h)² - 1)*(x² - 1)) )
= -8x/((x² -1)²)
- f(x) = x-3/x+1
f'(x) = lim h -> 0 (((x + h -3)/(x + h + 1) - (x -3)/(x + 1))/h)
= lim h -> 0( ((x + h -3)*(x + 1) - (x + h + 1)*(x-3))/((x + h + 1)*(x + 1)*h))
= lim h -> 0( (x² + x + xh + h - 3x - 3 - x² + 3x - xh + 3h - x + 3)/((x + h + 1)*(x + 1)*h))
= lim h -> 0( (4h)/((x + h + 1)*(x + 1)*h))
= lim h -> 0( (4)/((x + h + 1)*(x + 1)))
= 4/((x + 1)²)
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