Question

Cual es el área mayor de un rectángulo con 36 cm de perímetro? Y cual es el área menor?

Answer 1

Sean x e y la base y la altura del rectángulo.

El área es S = x y

El perímetro es P = 36 = 2 (x + y); o bien 18 = x + y; y = 18 - x

Es decir S = x (18 - x) = 18 x - x²

Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda negativa en los puntos críticos.

S' = 18 - 2 x

S'' =  - 2 < 0; hay máximo en S' = 0 = 18 - 2 x; x = 9

Por lo tanto y = 18 - 9 = 9

Finalmente el rectángulo de mayor área es un cuadrado de lado = 9 cm

Área máxima = 9 . 9 = 81 cm²

El área menor es nula, base o altura nula.

Quedan dos segmentos superpuestos de 18 cm de longitud cada uno.

Adjunto gráfico con la función área.

Mateo