Question

Por favor necesito ayuda¡
Encuentre un cilindro circular recto de mayor superficie que puede inscribirse en una esfera de radio r.

Answer 1

El cilindro de máxima área que puede inscribirse en una esfera de radio R es el que tiene un radio equivalente a 0,851R y una altura equivalente a 1,051R.

Explicación:

Para hallar el cilindro de mayor superficie que se puede inscribir en la esfera de radio R se empieza considerando un corte del mismo a lo largo de su eje de simetría, lo que se muestra en la imagen adjunta.

En ella vemos que el radio del mismo es:

$r=R.sen(\theta)$

donde es R el radio de la esfera, y su altura es:

$h=2R.cos(\theta)$

Y si reemplazamos estas expresiones en la del área del cilindro tenemos:

$A=\pi r^2 +2\pi rh=\pi(R.sen(\theta))^2+2\pi (R.sen(\theta)).R.cos(\theta)\\\\A=\pi.R^2sen^2(\theta)+2\pi R^2sen(\theta).cos(\theta)$

Pero:

$sen(2\theta)=2sen(\theta)cos(\theta)$

Con lo que el área se puede expresar de esta forma:

$A=\pi.R^2sen^2(\theta)+\pi R^2sen(2\theta)\\A=\pi R^2(sen^2(\theta)+sen(2\theta))$

Para hallar el área máxima, hay que derivar esta expresión e igualarla a cero, además la derivada segunda debe ser negativa, hallamos primera y segunda derivada:

$A'=\pi R^2(2sen(\theta)cos(\theta)+2cos(2\theta))=\pi R^2(sen(2\theta)+2cos(2\theta))\\A''=\pi R^2(2cos(2\theta)-4sen(2\theta))$

Vamos a igualar a cero la primera derivada:

$sen(2\theta)+2cos(2\theta)=0\\sen(2\theta)=-2cos(2\theta)\\\\tan(2\theta)=-2\\\\\theta=\frac{arctan(-2)}{2}=58,3\°$

Y vamos a comprobar con este resultado que la derivada segunda sea negativa para ver si se trata de un máximo:

$\pi R^2(2cos(2.58,3\°)-4sen(2.58,3\°))=-4,47\pi R^2$

Es un valor negativo con lo cual lo que hallamos es un máximo.

Y las dimensiones del cilindro encontrado son:

$r=R.sen(\theta)=R.sen(58,3\°)=0,851R\\h=2R.cos(\theta)=2R.cos(58,3\°)=1,051R$