Determinar el ángulo que forman la recta r y el plano L. = { = 5 + 5 = 2 + 3 = 4 − 2 L: x − 2y − 4z − 2
Respuestas
El ángulo entre el plano L y la recta r es 14 º 20'
Para poder determinar el ángulo entre la recta y un plano, simplemente debemos restar 90 grados al ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal del plano
El vector director a la recta
r: x = 5 + 5k
y = 2 + 3k
z = 4 - 2k
Es el vector n = (5, 3, -2)
Además el vector normal al plano L: x-2y-4z - 2 = 0
Es m = (1, -2, -4),
El ángulo α entre estos se obtiene mediante la siguiente fórmula
cos(α) = (n * m) / ( |n| |m| )
Donde n*m es el producto punto de los vectores n y m , así como | . | es la magnitud del vector, entonces tenemos
n * m = (5, 3, -2) * (1, -2, -4) = (5)(1) + (3)(-2) + (-2)(-4) = 5 - 6 + 8 = 7
|n| = √[ (5)² + (3)² + (-2)² ] = √( 25 + 9 + 4) = √38 = 3
|m| = √[ (1)² + (-2)² + (-4)² ] = √( 4 + 1 + 16 ) = √21
Y por lo tanto
cos(α) = (n * m) / ( |n| |m| ) = (7)/(√38√21) = (7/√798)
α = arcos(7/√798) = 75 º 39'
Por lo que el ángulo entre el plano L y la recta r es
| α - 90 |= | 75 º 39' - 90º |= 14 º 20'