Question

Si z = a + bi es un número complejo, con a y b números reales distintos de cero,


#PSU

Answer 1

Dejo en claro que la "z" con raya arriba significa su conjugado, el cual se escribe como :

$a - bi$

Ahora solo queda reemplazar.

$(a + bi) {}^{2} + (a + bi)(a - bi) - (a - bi) {}^{2}$

En el producto del complejo con su conjugado se observa una diferencia de cuadrados, y desarrollando los binomios al cuadrado queda asi :

$a {}^{2} + 2abi - b {}^{2} + a {}^{2} + b {}^{2} - (a {}^{2} - 2abi - b {}^{2} )$

Restando y sumando queda de esta manera :

$a {}^{2} + b {}^{2} + 4abi$

Answer 2

La respuesta correcta es la opción B) “a² + b² + 4abi”

Dado el Número Complejo:

Z = a + bi   {∀ a,b ∈ ℝ ≠ 0}  

De manera que el Conjugado de Z (Ẑ) es:

Ẑ = a – bi

Entonces hallar el resultado de la expresión:

Z² + Z x Ẑ – (Ẑ)²

(a + bi)² + (a + bi)(a – bi) – (a – bi)²

a² + 2abi + (bi)² + a² – abi + abi – (bi)² – (a² – 2abi + (bi)²

a² + 2abi + (bi)² + a² – abi + abi – (bi)² – a² + 2abi – (bi)²

Agrupando términos semejantes.

(1 + 1 – 1)a² + abi(2 – 1 + 1 + 2) + (1 – 1 – 1)(bi)²  

a² + 4abi – (bi)²  

Se debe recordar lo siguiente:

i = √– 1

Luego:

a² + 4abi – (b²) (√– 1)²

Pero:  

(√– 1)² = – 1

Así pues, el resultado es:

(a² + b²)  + 4abi