Como se ve en la FIGURA 10.2.19, dos estaciones rastreado-
ras S1 y S2 avistan un globo meteorológico entre ellas, con
los ángulos respectivos de elevación a y b. Exprese la
altura h del globo en función de a y b, y la distancia c entre
las estaciones rastreadoras. Suponga que esas estaciones
y el globo están en el mismo plano vertical.
Respuestas
Usando la expresión Tangente y su recíproca la Cotangente en un triángulo rectángulo y construyendo ecuaciones con ellas, se llega a la conclusión que la altura h en función de c, α y β es:
h = (c)/[(Ctgβ) + (Ctgα)]
Explicación paso a paso:
En principio vamos a llamar x a la distancia que separa la estación s1 del punto donde la línea punteada vertical que marca la altura de globo toca el suelo. De esta forma, la estación s2 estaría separada de ese mismo punto una distancia c - x.
Con la línea punteada vertical se forman dos triángulos rectángulos y de ellos vamos a obtener expresiones para la altura h partiendo de la tangente trigonométrica de los ángulos α y β:
1. Triángulo formado por el globo, la estación s1 y el punto base de h
Tgα = (h)/(x) ⇒ h = (x)(Tgα)
2. Triángulo formado por el globo, la estación s2 y el punto base de h
Tgβ = (h)/(c - x) ⇒ h = (c - x)(Tgβ)
3. Despejamos x de la ecuación 1. y sustituimos en la ecuación 2.
h = (x)(Tgα) ⇒ x = (h)/(Tgα) ⇒ x = (h)(Ctgα)
4. Se sustituye el valor de x hallado en 3. en la ecuación de h hallado en 2.
h = (c - x)(Tgβ) ⇒ h = [c - (h)(Ctgα)](Tgβ) ⇒
h = (c)(Tgβ) - (h)(Ctgα)(Tgβ) ⇒
h + (h)(Ctgα)(Tgβ) = (c)(Tgβ) ⇒
h[1 + (Ctgα)(Tgβ)] = (c)(Tgβ) ⇒
h = [(c)(Tgβ)]/[1 + (Ctgα)(Tgβ)] ⇒
h = {(c)[1/(Ctgβ)]}/{1 + (Ctgα)[1/(Ctgβ)]} ⇒
h = (c)/[(Ctgβ) + (Ctgα)]