Question

Determinar el ángulo que forman la recta r y el plano L.

r = { x = 5 + 5k

y = 2 + 3k

z = 4 − 2k

L: x − 2y − 4z − 2

Answer 1

La recta r y el plano L forman entre sí un ángulo de 14,35°.

Explicación paso a paso:

Para determinar el ángulo que forman la recta y el plano, podemos empezar hallando el ángulo que forman el vector director de la recta, teniendo en cuenta que es paralelo a esta y el vector asociado al plano teniendo en cuenta que es normal al plano.

Como la recta está expresada en forma de sus ecuaciones paramétricas, las coordenadas del vector director son los coeficientes que multiplican al parámetro k.

En cuanto al plano, los coeficientes de las variables son las coordenadas del vector asociado. Y para hallar el ángulo que forman los vectores recurrimos al producto escalar:

$v_1.v_2=||v_1||.||v_2||.cos(\theta)\\\\\theta=arccos(\frac{v_1.v_2}{||v_1||.||v_2||})$

Si llamamos v1 al vector asociado al plano y v2 al vector director de la recta tenemos:

$v_1=(1,-2,-4)\\v_2=(5,3,-2)\\\\\theta=arccos(\frac{(1,-2,-4).(5,3,-2)}{||1,-2,-4||.||5,3,-2||})\\\\(1,-2,-4).(5,3,-2)=1.5+(-2).3+(-4)(-2)=7\\\\||v_1||=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{21}\\||v_2||=\sqrt{5^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{38}\\\\\theta=arccos(\frac{7}{\sqrt{21}\sqrt{38}})=75,65\°$

Pero como dijimos al principio, el vector asociado al plano es perpendicular al plano, con lo cual el ángulo que forman la recta y el plano será complementario con el que acabamos de hallar, por lo que el ángulo entre la recta y el plano es:

$\alpha=90\°-75,65\°=14,35\°$