Question

Varios niños están jugando en la cancha de fútbol rápido de un parque cuando el balón sale al exterior por encima de la valla de la cancha . Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que la valla de la cancha tiene 300cm de altura, que el hombre esta a 0.053km de la valla y que patea el balón a 1440m/min con un angulo de 55°, averigua si consigue que la pelota vuelva a entrar a la cancha pasando sobre la valla.

CONSIDERE que g=-9.81m/s^2

Answer 1

El balón reingresa en el campo de juego pasando por encima de la valla por estrecho margen ya que mientras la valla tiene 300cm la altura del balón sobre el suelo es de 301cm.

Explicación:

Para determinar si el balón consigue traspasar la valla de la cancha, consideraremos que este sigue un movimiento parabólico generado por un lanzamiento oblícuo.

Combinando las dos ecuaciones de movimiento es posible obtener la ecuación de la trayectoria de esta forma:

$y=y_0+v_{0y}.t-\frac{1}{2}gt^2\\x=x_0+v_{0x}t\\\\t=\frac{x-x_0}{v_0x}$

Esta última expresión la sustituimos en la de la coordenada vertical:

$y=y_0+v_{0y}.\frac{x-x_0}{v_{0x}}-\frac{1}{2}g(\frac{x-x_0}{v_{0x}})^2\\\\v_{0x}=v_0.cos(\theta)\\v_{0y}=v_0.sen(\theta)\\\\y=y_0+v_{0}.sen(\theta).\frac{x-x_0}{v_{0}.cos(\theta)}-\frac{1}{2}g(\frac{x-x_0}{v_{0}.cos(\theta)})^2\\\\y=y_0+tan(\theta).(x-x_0)-\frac{1}{2}g\frac{(x-x_0)^2}{v_{0}^2.cos^2(\theta)}$

Esta es la expresión general de la parábola de la trayectoria. Tomamos el punto de partida como origen de coordenadas para simplificar los cálculos:

$y=tan(\theta).x-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_{0}^2.cos^2(\theta)}$

Si el hombre está a 0,053km de la cerca, es decir a 53 metros y patea con una velocidad de 1440 metros por minuto ó 24 metros por segundo con una inclinación de 55° tenemos:

$y=tan(55\°).53m-\frac{1}{2}.9,81\frac{m}{s^2}\frac{(53m)^2}{(24\frac{m}{s})^2.cos^2(55\°)}\\\\y=3,01m.$

Concluyendo que la pelota consigue pasar por sobre la valla de 3 metros de altura.