Question

El único caso en el que el vector suma es igual al vector diferencia en modulo es cuando forma un ángulo de? ​

Answer 1

El único caso en que el vector suma es igual en módulo al vector diferencia es cuando los dos vectores sumandos forman entre sí un ángulo de 90°.

Explicación:

En la figura adjunta se observa la suma de los vectores A y B, y la resta entre estos dos vectores, implementada como la suma entre el vector A y el vector opuesto de B (que llamamos -B). El módulo de la resultante se puede hallar analíticamente mediante el teorema del coseno.

Para la suma tenemos:

$|R|=\sqrt{|A|^2+|B|^2-2|A||B|cos(\alpha)}$

Y para la diferencia entre los vectores A y B es:

$|R|=\sqrt{|A|^2+|B|^2-2|A||B|cos(\sigma)}$

Como los ángulos α y σ son suplementarios, se cumple que:

$cos(\alpha)=-cos(\theta)$

Y queda para la resta:

$|R|=\sqrt{|A|^2+|B|^2+2|A||B|cos(\alpha)}$

Como los módulos tienen que ser iguales igualamos ambas expresiones:

$\sqrt{|A|^2+|B|^2-2|A||B|cos(\alpha)}=\sqrt{|A|^2+|B|^2+2|A||B|cos(\alpha)}\\\\|A|^2+|B|^2-2|A||B|cos(\alpha)=|A|^2+|B|^2+2|A||B|cos(\alpha)\\-2|A||B|cos(\alpha)=2|A||B|cos(\alpha)\\-cos(\alpha)=cos(\alpha)$

El único ángulo que cumple con esa identidad es el de 90° cuyo coseno es 0.