Question

esta fracción (x-2)/(1+x2) defina para todos los valores X e R ?¿ para que valores de X la fracción se anula? ¿es positiva? ¿es negativa?

Answer 1

Esta fracción está definida para cualquier valor real de x, anulándose en x=2, siendo negativa cuando x está en el intervalo $(-\infty,2)$ y siendo positiva cuando x está en el intervalo  $(2,\infty)$

Explicación paso a paso:

Para que la fracción sea indefinida, su denominador tiene que ser cero, entonces pues, tratemos de hallar los valores de x que anulan el denominador:

$1+x^2=0\\x=\sqrt{-1}$

La raíz cuadrada es indefinida para números negativos, con lo cual no existe ningún valor real que haga indefinida a la expresión propuesta. La fracción está definida para todos los reales.

Ahora si queremos que la fracción se anule, el numerador debe ser cero, nos queda:

$x-2=0\\x=2$

La fracción se anula en x=2.

Por un lado, como el  cuadrado de x será siempre un número positivo, el denominador será siempre positivo. Con lo que la fracción es negativa si el numerador es negativo y positiva si el numerador es positivo. Es decir, la fracción es positiva en x>2 y negativa para x<2,