Question

Resolver el siguiente ejercicio de matriz inversa de 3x3 por metodo de gauss jordan
Fila 1: 2 3 1
Fila 2; 1 -1 2
Fila 3; 0 1 2

Answer 1

La matriz inversa hallada por el método de Gauss-Jordan es $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}4/13&5/13&-7/13\\2/13&-4/13&3/13\\-1/13&2/13&5/13\end{array}\right]$

Explicación paso a paso:

El método de Gauss Jordan consiste en una serie de algoritmos que permite hallar la matriz inversa de una matriz dada de la forma que describiremos.

Primero se hace la matriz ampliada, a la izquierda va la matriz dada, a la derecha, la identidad:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0\\1&-1&2&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right]$

Una vez tenemos esto, elegimos un elemento de la izquierda como pivote, elijamos el a11 que es 2, se va a dividir su fila por el mismo:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right]$

En cuanto a las demás filas, se le van a restar la del pivote multiplicada por el elemento de cada fila que esté en la columna del pivote.

$R_2'=R_2-1.R_1; R_3'=R_3-0.R_1;\\\\\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&1/2&1/2&0&0\\0&-5/2&3/2&-1/2&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right]$

Ahora podemos, tomar como nuevo pivote el a22 que es -5/2, se repite el proceso:

$R_1'=R_1-3/2.R_2; R_3'=R_3-1.R_2;\\\\\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&14/10&1/5&3/5&0\\0&1&-3/5&1/5&-2/5&0\\0&0&13/5&-1/5&2/5&1\end{array}\right]$

Por último tomamos el a33 que es 13/5 como nuevo pivote y repetimos el proceso:

$R_1'=R_1-14/10.R_3; R_2'=R_2+3/5.R_3;\\\\\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&4/13&5/13&-7/13\\0&1&0&2/13&-4/13&3/13\\0&0&1&-1/13&2/13&5/13\end{array}\right]$

Resultando la siguiente matriz inversa.

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}4/13&5/13&-7/13\\2/13&-4/13&3/13\\-1/13&2/13&5/13\end{array}\right]$