Question

Necesito la respuesta de este ejercicio:
La suma de los perimetros de un triangulo equilatero y un cuadrado es igual a 10. Encontrar las dimensiones del triangulo y el cuadrado que producen el área total mínima

Answer 1

El triángulo equilátero tiene 1,88u de lado mientras que el cuadrado tiene 1,09u de lado.

Explicación paso a paso:

Si llamamos 'a' al lado del triángulo equilátero y 'b' al lado del cuadrado tenemos que la suma de sus perímetros es 10:

$3a+4b=10$

Y la suma de las áreas de ambas figuras es:

$A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+b^2$

Podemos despejar b de la ecuación de los perímetros y reemplazarla en la de las áreas:

$b=\frac{10-3a}{4}\\\\A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+(\frac{10-3a}{4})^2\\\\A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+\frac{100-60a+9a^2}{16}\\\\A=\frac{(4\sqrt{3}+9)a^2-60a+100}{16}$

Para hallar el área mínima derivamos esta expresión y la igualamos a 0:

$A'=\frac{2(4\sqrt{3}+9)a-60}{16}=0\\\\2(4\sqrt{3}+9)a=60\\\\a=\frac{60}{8\sqrt{3}+18}\\\\a=1,88$

Tenemos el lado del triángulo equilátero, ahora el lado del cuadrado es:

$b=\frac{10-3a}{4}=\frac{10-3.1,88}{4}\\\\b=1,09$