Question

5. La vida útil de las pilas de determinada marca se distribuye normalmente. Si el 6,68% de las pilas dura más de 56 horas y el 30,85% dura menos de 52 horas, ¿cuál el promedio de duración y la correspondiente varianza de esta duración?

Answer 1

El promedio de duración de las pilas es 50 horas y la varianza es de 16 horas²

Explicación:

Para hallar probabilidades asociadas a esta distribución se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:

x = vida útil de las pilas

Su estandarización para calcular probabilidades en la tabla estándar es:

$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:

$P(x<a)=P(z<\frac{a-\mu}{\sigma})$

Vamos a construir un sistema de ecuaciones a partir de los porcentajes dados y la estandarización de cada una deseas situaciones dadas.

1. 6,68% de las pilas dura más de 56 horas  

Se conoce  la probabilidad de que x sea mayor que 56. Dado que la tabla arroja probabilidades acumuladas, es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

P(x > 56) = 0,0668

$P(x>56)=1-P(x<56)=1-P(z<\frac{56-\mu}{\sigma})=0,0668\quad\Rightarrow\quad P(z<\frac{56-\mu}{\sigma})=0,9332$

El valor de z asociado en la tabla es:  z  =  1,50;  por lo tanto

$\bold{\frac{56-\mu}{\sigma}=1,50}$

2. 30,85% dura menos de 52 horas

Se conoce  la probabilidad de que x sea menor que 52:

P(x < 52) = 0,3085

$P(x<52)=P(z<\frac{52-\mu}{\sigma})=0,3085$

El valor de z asociado en la tabla es:  z  =  -0,50;  por lo tanto

$\bold{\frac{52-\mu}{\sigma}=-0,50}$

3. Resolvemos el sistema

$\left \{ {{\frac{56-\mu}{\sigma}=1,50} \atop {\frac{52-\mu}{\sigma}=-0,50}} \right.\quad\Rightarrow$

$\left \{ {{56-\mu=1,50\sigma} \atop {52-\mu=-0,50\sigma}} \right.\quad\Rightarrow$

$\left \{ {{\frac{56-\mu}{1,50}=\sigma} \atop {\frac{52-\mu}{-0,50}=\sigma}} \right.\quad\Rightarrow$

${{\frac{56-\mu}{1,50}= {\frac{52-\mu}{-0,50}\quad\Rightarrow$

${{56-\mu= 156-3\mu\quad\Rightarrow\quad \bold{\mu=50\quad\Rightarrow\quad \sigma=4}$

El promedio de duración de las pilas es 50 horas y la varianza es de 16 horas²