Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización
X2-x-6=0
X2-16=0
5X2+x=0
X2+5x+6=0
X2-324=0
2x2-8=0
X2+2x-15=0
X2+2x-8=0
Respuestas
En todos los items se aplican técnicas de factorización para ecuaciones de segundo grado. Especificamente, binomios con términos semejantes, binomios conjugados y factores comunes.
Explicación:
a) x² - x - 6 = 0
Vamos a intentar la técnica de binomios con término semejante:
(r ± a)(r ± b)
donde,
El signo en el primer factor es el signo del término grado uno en la ecuación y el signo en el segundo factor es el producto de los signos de los términos grado uno y grado cero.
a y b serán dos números que sumados (con los signos mencionados) den como resultado el coeficiente del término grado uno y multiplicados den como resultado el coeficiente del término grado cero.
En el caso que nos ocupa:
Signo en el primer factor = -
Signo en el segundo factor = (-)(-) = +
a = (-3) + (2) = -1
b = (-3)(2) = -6
Por tanto
x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Las raíces son: x = 3 ∧ x = -2
b) x² - 16 = 0
Aplicaremos binomios conjugados:
a² - b² = (a + b)(a - b)
En el caso dado
a² = x² ⇒ a = x
b² = 16 ⇒ b = 4
Por lo tanto:
x² - 16 = (x + 4)(x - 4)
Las raíces son: x = 4 ∧ x = -4
c) 5x² + x = 0
Tomamos factor común:
5x² + x = x(5x + 1)
Las raíces son: x = 0 ∧ x = -1/5
d) x² + 5x + 6 = 0
Siguiendo el procedimiento aplicado en a):
Signo en el primer factor = +
Signo en el segundo factor = (+)(+) = +
a = (3) + (2) = 5
b = (3)(2) = 6
Por tanto
x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Las raíces son: x = -3 ∧ x = -2
e) x² - 324 = 0
Aplicaremos binomios conjugados:
a² - b² = (a + b)(a - b)
En el caso dado
a² = x² ⇒ a = x
b² = 324 ⇒ b = 18
Por lo tanto:
x² - 324 = (x + 18)(x - 18)
Las raíces son: x = 18 ∧ x = -18
f) 2x² - 8 = 0
Tomamos factor común:
2x² - 8 = 0 ⇒ 2(x² - 4) = 0
Aplicaremos binomios conjugados:
a² - b² = (a + b)(a - b)
En el caso dado
a² = x² ⇒ a = x
b² = 4 ⇒ b = 2
Por lo tanto:
2x² - 8 = 2(x² - 4) = 2(x + 2)(x - 2)
Las raíces son: x = 2 ∧ x = -2
g) x² + 2x - 15 = 0
Siguiendo el procedimiento aplicado en a):
Signo en el primer factor = +
Signo en el segundo factor = (+)(-) = -
a = (5) + (-3) = 2
b = (5)(-3) = -15
Por tanto
x² + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)
Las raíces son: x = -5 ∧ x = 3
h) x² + 2x - 8 = 0
Siguiendo el procedimiento aplicado en a):
Signo en el primer factor = +
Signo en el segundo factor = (+)(-) = -
a = (4) + (-2) = 2
b = (4)(-2) = -8
Por tanto
x² + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)
Las raíces son: x = -4 ∧ x = 2